Плюс таңбасы бар ортақ көбейткішті шығарып, көбейткіштерге жіктеңіз:
Алдымен бастапқы өрнектегі бірмүшелердің ортақ көбейткішін табамыз.
1. Жай көбейткіштерге жіктеу арқылы сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішін табайық:
- \(\displaystyle 42=2\cdot 3\cdot 7{\small ,}\)
- \(\displaystyle 70=2\cdot 5 \cdot 7{\small ,}\)
- \(\displaystyle 6=2\cdot 3{\small ,}\)
- \(\displaystyle 10=2\cdot 5{\small .}\)
Жіктеуден ең үлкен ортақ бөлгіш \(\displaystyle 2{\small }\) тең екендігін аламыз.
2. Ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle z\) айнымалысы (\(\displaystyle z^{\,5}, \, z^{\, 3},\, z^{\, 4} \) және \(\displaystyle z^{\,2}\) таңдау арқылы) – бұл \(\displaystyle z^{\,2}{\small .}\)
Осылайша, ортақ көбейткіш \(\displaystyle 2z^{\,2}{\small }\) тең.
\(\displaystyle 2z^{\,2}\) жақшаның сыртына шығарайық:
\(\displaystyle 42z^{\,5}+70z^{\,3}+6z^{\,4}+10z^{\,2}=2z^{\,2}(21z^{\,3}+35z+3z^{\,2}+5){\small .}\)
Әрі қарай, \(\displaystyle 21z^{\,3}+35z+3z^{\,2}+5\) көпмүшесін топтастыру арқылы көбейткіштерге жіктейік.
Аталған көпмүшені стандарт түрде жазайық:
\(\displaystyle 21z^{\,3}+35z+3z^{\,2}+5=21z^{\,3}+3z^{\,2}+35z+5{\small .}\)
Топтастыру әдісінде ең жоғары дәрежелі бірмүшені ең төменгі дәрежелі бірмүшемен топтастыруға болмайды (ең төменгі дәреже нөлге тең болуы мүмкін).
Біздің жағдайда жоғары дәрежелі айнымалысы бар бірмүше, – бұл \(\displaystyle 21z^{\,3}\) (үшінші дәреже), ал төменгі дәрежелі айнымалысы бар бірмүше, – бұл \(\displaystyle 5\) (нөлдік дәреже). Демек, \(\displaystyle 21z^{\,3}\) және \(\displaystyle 5\) бірмүшелері әр түрлі жақшаларда болуы керек. Сондықтан топтастырудың екі нұсқасы бар:
1) \(\displaystyle \color{red}{21z^{\,3}}+\color{red}{3z^{\,2}}+\color{blue}{35z}+\color{blue}{5}=(\color{red}{21z^{\,3}+3z^{\,2}})+(\color{blue}{35z+5}){\small ,}\)
2) \(\displaystyle \color{red}{21z^{\,3}}+\color{blue}{3z^{\,2}}+\color{red}{35z}+\color{blue}{5}=(\color{red}{21z^{\,3}+35x})+(\color{blue}{3z^{\,2}+5}){\small .}\)
Осы нұсқалардың кез-келгені көбейткіштерге жіктеуге әкеледі, алайда біз тек топтастырудың бірінші нұсқасын қарастырамыз:
\(\displaystyle (21z^{\,3}+3z^{\,2})+(35z+5){\small .}\)
\(\displaystyle (21z^{\,3}+3z^{\,2}){\small }\) бірінші жақшада тұрған бірмүшелердің ең үлкен ортақ көбейткішін табайық.
- Көбейткіштерге жіктеу немесе Евклид алгоритміне сәйкес сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(21,3)=3{\small }\) тең.
- Ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle z\) айнымалысы \(\displaystyle z^{\,2}\) болып табылады (\(\displaystyle z^{\,3}\) және \(\displaystyle z^{\,2}\) арасынан таңдаймыз).
Яғни, \(\displaystyle 21z^{\,3}\) және \(\displaystyle 3z^{\,2}\) бірмүшелерінің ең үлкен ортақ көбейткіші \(\displaystyle 3z^{\, 2}{\small }\) тең. Оны жақшаның сыртына шығарып, төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle 21z^{\,3}+3z^{\,2}=3z^{\,2}\,(7z+1){\small .}\)
Әрі қарай \(\displaystyle (35z+5){\small }\) екінші жақшада тұрған бірмүшелердің ең үлкен ортақ көбейткішін табайық.
- Көбейткіштерге жіктеу немесе Евклид алгоритміне сәйкес сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(35,5)=5{\small }\) тең.
- Ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle z\) айнымалысы \(\displaystyle z^{\,0}=1\) болып табылады (\(\displaystyle z^{\,1}=z\) және \(\displaystyle z^{\,0}=1\) арасынан таңдаймыз).
Яғни, \(\displaystyle 35z\) және \(\displaystyle 5\) бірмүшелерінің ең үлкен ортақ көбейткіші \(\displaystyle 5{\small }\) тең. Оны жақшаның сыртына шығарып, төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle 35z+5=5\,(7z+1){\small .}\)
Бастапқы өрнекке орала отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle (21z^{\,3}+3z^{\,2})+(35z+5)=3z^{\,2}\,(7z+1)+5\,(7z+1){\small .}\)
\(\displaystyle 3z^{\,2}\,\color{blue}{(7z+1)}\) және \(\displaystyle 5\,\color{blue}{(7z+1)}\) екі өрнегі де бірдей \(\displaystyle \color{blue}{(7z+1)}{\small }\) көбейткішіне ие екенін ескерейік. Демек, оны да жақшаның сыртына шығаруға болады:
\(\displaystyle 3z^{\,2}\,\color{blue}{(7z+1)}+5\,\color{blue}{(7z+1)}=\color{blue}{(7z+1)} (3z^{\,2}+5){\small .}\)
Осылайша,
\(\displaystyle 21z^{\,3}+3z^{\,2}+35z+5=(7z+1) (3z^{\,2}+5)\)
және
\(\displaystyle 42z^{\,5}+70z^{\,3}+6z^{\,4}+10z^{\,2}=2z^{\,2}(21z^{\,3}+35z+3z^{\,2}+5)={\bf 2}{\pmb z}^{\,{\bf 2}}({\bf 7}{\pmb z}+{\bf 1}) ({\bf 3}{\pmb z}^{\,{\bf 2}}+{\bf 5}){\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle 2z^{\,2}(7z+1) (3z^{\,2}+5){\small .}\)