Екімүше көбейтіндісіне көбейткіштерін жіктеңіз:
Шарттан бастапқы көпмүше екі екімүшенің көбейтіндісі болып табылатындығы шығады, яғни әр жақшада екі бірмүшеден болуы керек.
Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу үшін келесі әдісті қолданамыз.
Аталған көпмүшені стандарт түрде жазайық:
\(\displaystyle 15x^{\,3}-32-12x^{\,2}+40x=15x^{\,3}-12x^{\,2}+40x-32.\)
Топтастыру әдісінде ең жоғары дәрежелі бірмүшені ең төменгі дәрежелі бірмүшемен топтастыруға болмайды (ең төменгі дәреже нөлге тең болуы мүмкін).
Біздің жағдайда жоғары дәрежелі айнымалысы бар бірмүше, – бұл \(\displaystyle 15x^{\,3}\) (үшінші дәреже), ал төменгі дәрежелі айнымалысы бар бірмүше, – бұл \(\displaystyle -32\) (нөлдік дәреже). Демек, \(\displaystyle 15x^{\,3}\) және \(\displaystyle -32\) бірмүшелері әрқашан әр түрлі жақшаларда болуы керек. Сондықтан топтастырудың екі нұсқасы бар:
1) \(\displaystyle \color{red}{15x^{\,3}}-\color{red}{12x^{\,2}}+\color{blue}{40x}-\color{blue}{32}=(\color{red}{15x^{\,3}-12x^{\,2}})+(\color{blue}{40x-32}),\)
2) \(\displaystyle \color{red}{15x^{\,3}}-\color{blue}{12x^{\,2}}+\color{red}{40x}-\color{blue}{32}=(\color{red}{15x^{\,3}+40x})+(\color{blue}{-12x^{\,2}-32}).\)
Осы нұсқалардың кез-келгені көбейткіштерге жіктеуге әкеледі. Топтастырудың бірінші нұсқасын қарастырайық.
\(\displaystyle (15x^{\,3}-12x^{\,2})+(40x-32).\)
\(\displaystyle (15x^{\,3}-12x^{\,2})\) бірінші жақшада тұрған бірмүшелердің ең үлкен ортақ көбейткішін сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішінің және ең кіші дәрежедегі айнымалының көбейтіндісі ретінде табайық.
- Көбейткіштерге жіктеу немесе Евклид алгоритміне сәйкес сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(15,12)=3\) тең.
- Ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle x\) айнымалысы \(\displaystyle x^{\,2}\) болып табылады (\(\displaystyle x^{\,3}\) және \(\displaystyle x^{\,2}\) арасынан таңдаймыз).
Яғни, \(\displaystyle 15x^{\,3}\) және \(\displaystyle -12x^{\,2}\) бірмүшелерінің ең үлкен ортақ көбейткіші \(\displaystyle 3x^{\, 2}\) тең. Оны жақшаның сыртына шығарып, төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle 15x^{\,3}-12x^{\,2}=3x^{\,2}\,(5x-4).\)
Әрі қарай, \(\displaystyle (40x-32)\) екінші жақшада тұрған бірмүшелердің ең үлкен ортақ көбейткішін сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішінің және ең кіші дәрежедегі айнымалының көбейтіндісі ретінде табайық.
- Көбейткіштерге жіктеу немесе Евклид алгоритміне сәйкес сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(40,32)=8\) тең.
- Ең кіші дәрежедегі \(\displaystyle x\) айнымалысы \(\displaystyle x^{\,0}=1\) болып табылады (\(\displaystyle x^{\,1}=x\) және \(\displaystyle x^{\,0}=1\) арасынан таңдаймыз).
Яғни, \(\displaystyle 40x\) және \(\displaystyle -32\) бірмүшелерінің ең үлкен ортақ көбейткіші \(\displaystyle 8\) тең. Оны жақшаның сыртына шығарып, төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle 40x-32=8\,(5x-4).\)
Бастапқы өрнекке оралу арқылы, бізде:
\(\displaystyle (15x^{\,3}-12x^{\,2})+(40x-32)=3x^{\,2}\,(5x-4)+8\,(5x-4).\)
\(\displaystyle 3x^{\,2}\,\color{blue}{(5x-4)}\) және \(\displaystyle 8\,\color{blue}{(5x-4)}\) екі өрнегі де бірдей \(\displaystyle \color{blue}{(5x-4)}\) көбейткішіне ие екенін ескерейік. Демек, бұл көбейткішті де жақшаның сыртына шығаруға болады:
\(\displaystyle 3x^{\,2}\,\color{blue}{(5x-4)}+8\,\color{blue}{(5x-4)}=\color{blue}{(5x-4)} (3x^{\,2}+8).\)
Осылайша,
\(\displaystyle 15x^{\,3}-32-12x^{\,2}+40x=({\bf 5}{\pmb x}-{\bf 4}) ({\bf 3}{\pmb x}^{\,{\bf 2}}+{\bf 8}).\)
Жауабы: \(\displaystyle (5x-4) (3x^{\,2}+8).\)