Теңдеуі
\(\displaystyle \left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}{\small.}\)
екі қарапайым тригонометриялық теңдеуге тең:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small .}\)
Теңдеуді ықшамдаймыз.
Сол және оң жақтағы дәрежелерді бір негізге келтіреміз.
Сол жағын дәрежеге негізімен келтіреміз \(\displaystyle 5{\small.}\)
\(\displaystyle 25=5^2{\small}\) болғандықтан,
\(\displaystyle \left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=\left(\left(5^2\right)^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}{\small.}\)
Енді \(\displaystyle (a^m)^n=a^{m\cdot n}{\small}\) дәрежелерінің қасиетін екі рет қолданамыз
\(\displaystyle \left(\left(5^2\right)^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=\left(5^{2\cdot\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=5^{2\cos(x)\cdot\sin(x)}{\small.}\)
Нәтижесінде:
\(\displaystyle \color{blue}{\left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}{\small,}\)
\(\displaystyle \color{blue}{5^{2\cos(x)\cdot\sin(x)}}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}{\small}\) аламыз.
Бірдей негіздері бар екі дәреже тең, яғни \(\displaystyle 2\cos(x)\sin(x)={\sqrt{2}\sin(x)}{\small}\) дәрежелер тең:
Барлық қосылғыштарды сол жаққа тасымалдаймыз және \(\displaystyle \sin(x)\) жалпы көбейткішті жақшадан шығарамыз:
\(\displaystyle 2\cos(x)\sin(x)={\sqrt{2}\sin(x)}{\small,}\)
\(\displaystyle 2\cos(x)\sin(x)-{\sqrt{2}\sin(x)}=0{\small,}\)
\(\displaystyle \sin(x)(2\cos(x)-{\sqrt{2}})=0{\small.}\)
Екі көбейткіштің көбейтіндісі нөлге тең, демек, олардың біреуі нөлге тең:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle 2\cos(x)-{\sqrt{2}}=0{\small.}\)
Екіншісін түрлендіру арқылы, аламыз:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)
Осылайша, \(\displaystyle \left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}\) теңдеуі:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small}\) екі қарапайым тригонометрияға тең: