Суретте \(\displaystyle A\) және \(\displaystyle B\) нүктелерінде қиылысатын \(\displaystyle f\left(x\right)=\dfrac{k}{x}\) және \(\displaystyle g\left(x\right)=ax+b{ \small}\) функцияларының графиктері көрсетілген. \(\displaystyle В\) нүктесінің ординатасын табыңыз.
Есептің шарты бойынша, \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4}{x}\) және \(\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1\) функцияларының графиктері \(\displaystyle A\) және \(\displaystyle B\) нүктелерінде қиылысады.
Суретте \(\displaystyle A\) нүктесі көрінеді, бірақ \(\displaystyle B\) нүктесі жоқ.
1. \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{k}{x}{ \small }\) гиперболасының теңдеуінен белгісіз \(\displaystyle k\) коэффициентін табамыз.
Суреттен \(\displaystyle A\) нүктесі \(\displaystyle (2;1){\small}\) координаталарына ие екенін көреміз.
\(\displaystyle A\) нүктесі \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{k}{x}{ \small}\) функциясының графигінде жатыр. Демек, \(\displaystyle A\) нүктесінің координаталары \(\displaystyle y=\frac{k}{x}{ \small} \) теңдеуін қанағаттандырады.
Осы жағдайды \(\displaystyle k\) коэффициентін табу үшін қолданамыз.
Демек, графигі гипербола болатын функция мына формуламен берілгенін білдіреді:
\(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2}{x}{ \small .}\)
2. \(\displaystyle g\left(x\right)=ax+b{ \small}\) түзуінің теңдеуінен \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) коэффициенттерін табамыз.
Суреттен координаталары \(\displaystyle (2;1)\) болатын \(\displaystyle A\) нүктесі және координаталары \(\displaystyle (1;-4)\) болатын \(\displaystyle C\) нүктелері \(\displaystyle g\left(x\right)=ax+b{ \small}\) функциясының графигіне жатқанын көреміз.
\(\displaystyle A(2;\,1)\) және \(\displaystyle C(1;-4)\) нүктелерінің координаталарын \(\displaystyle y=ax+b\,{\small} \) түзуінің теңдеуіне қоямыз.
\(\displaystyle A(\color{blue}{ 2};\color{green}{1}) \) нүктесінің координаталары \(\displaystyle x=\color{blue}{ 2}\) және \(\displaystyle y=\color{green}{ 1}{\small,}\) сондықтан
\(\displaystyle \color{green}{1}=a\cdot \color{blue}{ 2}+b \)
немесе, дәл сондай
\(\displaystyle 2a+b=1{\small . }\)
\(\displaystyle C(\color{blue}{ 1};\color{green}{ -4}) \) нүктесінің координаталары \(\displaystyle x=\color{blue}{ 1}\) және \(\displaystyle y=\color{green}{-4}{\small , }\) сондықтан
\(\displaystyle \color{green}{ -4}=a\cdot \color{blue}{ 1}+b {\small , }\)
немесе, дәл сондай
\(\displaystyle a+b=-4{\small . } \)
\(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) коэффициенттері үшін екі теңдеу алдық және теңдеулер жүйесін жаза аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2a+b&=1{\small , }\\a+b&=-4{\small . }\end{aligned}\right.\)
Осы жүйені шешейік.
Осылайша, \(\displaystyle a=5 \) және \(\displaystyle b=-9{\small . } \)
\(\displaystyle a \) және \(\displaystyle b \) үшін табылған мәндерді \(\displaystyle y=ax+b{\small} \) түзуінің теңдеуіне қойып келесіні аламыз:
\(\displaystyle y=5x-9{\small . } \)
3. \(\displaystyle A\) және \(\displaystyle B\) нүктелерінің абсциссаларын табамыз.
\(\displaystyle A\) және \(\displaystyle B\) нүктелері – \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2}{x}\) және \(\displaystyle g\left(x\right)=5x-9\) функция графиктерінің қиылысу нүктелері болып табылады. Демек, бұл нүктелердің координаталары гиперболаның және түзудің де теңдеулерін қанағаттандырады
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=\frac{2}{x}{ \small ,}\\y&=5x-9{ \small .}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle y=\frac{2}{x}\) және \(\displaystyle y=5x-9{ \small}\) болғандықтан, онда
\(\displaystyle 5x-9=\frac{2}{x} { \small .}\)
Алынған теңдеуді шешейік.
Барлығын сол жаққа жылжытып, ортақ бөлгішке келтірейік.
\(\displaystyle 5x-9-\frac{2}{x}= 0 { \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{5x^2-9x-2}{x}=0 { \small .}\)
Егер алымы нөлге тең, ал бөлгіш нөлге тең болмаса, онда бөлшек нөлге тең болып табылады.
Келесі жүйені аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}5x^2-9x-2=&0{ \small ,}\\x \,\cancel=\,&0{ \small .}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle 5x^2-9x-2=0{\small}\) квадрат теңдеуін шешейік.
\(\displaystyle x_1=-0{,}2\) және \(\displaystyle x_2=2\) түбірлерінің екеуі де \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,0 {\small}\) шектеуін қанағаттандырады. Демек, олар бастапқы теңдеудің түбірлері болып табылады.
Осылайша, \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2}{x}\) және \(\displaystyle g\left(x\right)=4x-2\) функция графиктерінің қиылысу нүктелерінің абсциссалары келесіге тең
\(\displaystyle x_1=-0{,}2\) және \(\displaystyle x_2=2{\small.}\)
\(\displaystyle x_2=2\) – \(\displaystyle A{\small}\) нүктесінің абсциссасы.
Демек, \(\displaystyle В\) нүктесі табылған абсциссалардың ең кішісіне \(\displaystyle x_1=-0{,}2{\small}\) сәйкес келеді.
4. Табылған \(\displaystyle x\) мәнін гиперболаның немесе түзудің теңдеуіне қойып, \(\displaystyle B\) нүктесінің ординатасын табайық.
\(\displaystyle y=5x-9{\small}\) түзуінің теңдуін қолданайық:
\(\displaystyle y=5 \cdot \left( -0{,}2\right)-9=-1-9=-10{\small.}\)
Демек, \(\displaystyle y=-10\) – \(\displaystyle B{\small}\) нүктесінің ординатасы.
Жауабы: \(\displaystyle -10{\small.}\)