Айырманың кубын табыңыз:
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=\big(\)\(\displaystyle \big)^3\)
Бірінші амал.
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3\) өрнегі айырманың толық кубы болып табылатыны белгілі.
Кез келген \(\displaystyle a, b\) сандарына төмендегілер тең \(\displaystyle (a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)Айырманың кубы
Теңдіктерді салыстыра отырып
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{r}\color{blue}{a}^{\,3}\\(\color{blue}{5t}\,)^3\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}-\\-\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\3\cdot (\color{blue}{5t}\,)^2\cdot \color{green}{7}\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\3\cdot \color{blue}{5t}\cdot \color{green}{7}^2\end{array}\begin{array}{l}-\color{green}{b}^{\,3}\\-\color{green}{7}^3\end{array}\begin{array}{l}=(\color{blue}{a}-\color{green}{b}\,)^3\\=(\,\color{blue}{?\,}-\,\color{green}{?\,})^3,\end{array}\end{aligned}\)
егер \(\displaystyle a=5t\) және \(\displaystyle b=7\) болса, біз олардың дәл сәйкес келетінін көреміз.
Сондықтан
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=(5t-7)^3.\)
Жауабы: \(\displaystyle ({\bf 5t-7})^3.\)
Екінші амал.
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3\) өрнегі айырманың толық кубы болып табылатыны белгілі.
Яғни,
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=(a-b\,)^3\)
табу қажет кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b,\) үшін.
«Айырманың кубы» формуласын еске салайық.
Кез келген \(\displaystyle a, b\) сандарына төмендегілер тең \(\displaystyle (a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Демек,
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Үшінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(5t\,)^3}-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-\color{green}{7^3},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(5t\,)^3}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{7^3}.\)
Сонда келесіні болжауға болады, \(\displaystyle a=5t\) және \(\displaystyle b=7.\)
1. \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(5t\,)^3}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{7^3}\) екі теңдігінің орындалатыны белгілі.
2. Әрі қарай үш еселенген көбейтінділердің теңдігін тексеру керек
\(\displaystyle -3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=-3\cdot (5t\,)^{\,2}\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2\)
\(\displaystyle a=5t\) және \(\displaystyle b=7\) кезінде
\(\displaystyle a=5t\) және \(\displaystyle b=7\) алмастырып
\(\displaystyle -3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2=-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2,\)
дұрыс теңдік аламыз.
Нәтижесінде келесі теңдікті аламыз
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}\)
\(\displaystyle a=5t\) және \(\displaystyle b=7\) кезінде.
Демек,
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=(a-b\,)^3\)
\(\displaystyle a=5t\) және \(\displaystyle b=7\) кезінде, яғни
\(\displaystyle (5t\,)^3-3\cdot (5t\,)^2\cdot 7+3\cdot 5t\cdot 7^2-7^3=(5t-7)^3.\)
Жауабы: \(\displaystyle ({\bf 5t-7})^3.\)