Найдите квадрат разности:
\(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Сначала заметим, что \(\displaystyle 16s^{\,2}=4^2s^{\,2}=(4s\,)^2.\) Далее распишем \(\displaystyle 24s\) как удвоенное произведение:
\(\displaystyle 24s=2\cdot 4s \cdot 3.\)
Теперь мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата разности была видна явно:
\(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2=(4s\,)^2-2\cdot 4s \cdot 3+3^2.\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом разности при \(\displaystyle a=4s\) и \(\displaystyle b=3\):
\(\displaystyle (4s\,)^2-2\cdot 4s \cdot 3+3^2=(4s-3)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2=(4s-3)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (4s-3)^2.\)
Второй способ (нахождение квадрата разности по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Следовательно,
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=16s^{\,2}-24s+3^2\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Заметим, что \(\displaystyle 16s^{\,2}=4^2s^{\, 2}=(4s\,)^2\) и поэтому
\(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2=(4s\,)^2-24s+3^2.\)
Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}-2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(4s\,)^2}-24s+\color{green}{3^2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(4s\,)^2}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{3^2}.\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 4s\) или \(\displaystyle -4s,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 3\) или \(\displaystyle -3\) (см. соответствующее доказательство).
Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":
\(\displaystyle a=4s,\)
\(\displaystyle b=3.\)
Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения
\(\displaystyle a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(4s\,)^2-\color{red}{24s}+3^2,\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}24s\)
при подстановке вместо \(\displaystyle a\) выражения \(\displaystyle 4s,\) а вместо \(\displaystyle b\) числа \(\displaystyle 3.\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 4s\cdot 3,\)
\(\displaystyle 2ab=24s.\)
Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=4s\) и \(\displaystyle b=3.\)
Поскольку
\(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2=(a-b\,)^2,\)
то, подставляя \(\displaystyle a=4s\) и \(\displaystyle b=3\) в скобки справа, получаем:
\(\displaystyle 16s^{\,2}-24s+3^2=(4s-3)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (4s-3)^2.\)