Айырманың квадратын табыңыз:
\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Бірінші тәсіл.
Бізге \(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25\) өрнегі айырманың толық квадраты екені белгілі.
Айырма квадраты
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандары үшін төмендегілер тең
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Алдымен \(\displaystyle 9z^{\,2}=3^2z^{\,2}=(3z\,)^2\) және \(\displaystyle 25=5^2\) ескерейік.
Әрі қарай \(\displaystyle 30z\) екі еселенген көбейтінді түрінде жазайық:
\(\displaystyle 30z=2\cdot 3z \cdot 5.\)
Енді біз айырма квадратының формуласы айқын көрінетіндей етіп өрнегімізді қайта жаза аламыз:
\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=(3z\,)^2-2\cdot 3z \cdot 5+5^2.\)
Бұдан біздің өрнек \(\displaystyle a=3z\) және \(\displaystyle b=5\) айырма квадратымен дәл сәйкес келетіндігін көруге болады:
\(\displaystyle (3z\,)^2-2\cdot 3z \cdot 5+5^2=(3z-5)^2.\)
Осылайша,
\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=(3z-5)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (3z-5)^2.\)
Екінші әдіс (квадрат бойынша және екі еселенген көбейтінді бойынша айырма квадратын табу).
Бізге \(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25\) өрнегі айырманың толық квадраты екені белгілі.
Айырма квадраты
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандары үшін төмендегілер тең
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Демек, табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін
\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}\)
және
\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=(a-b\,)^2\)
\(\displaystyle 9z^{\,2}=3^2z^{\,2}=(3z\,)^2\) екендігін ескерейік және сол себепті \(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=(3z\,)^2-30z+25.\)
Егер \(\displaystyle a^{\,2}=(3z\,)^2\) болса, онда \(\displaystyle a=3z\) немесе \(\displaystyle a=-3z\) (тиісті дәлелді қараңыз).
Плюс (\(\displaystyle {\bf +}\)) таңбасы бар нұсқаны, яғни \(\displaystyle a=3z\) таңдайық.
\(\displaystyle (3z\,)^2-30z+25=\color{blue}{a}^{\, 2}-2\color{blue}{a}b+b^{\, 2}\) теңдігін
\(\displaystyle \color{blue}{a}\) орнына \(\displaystyle \color{blue}{3z}\) өрнегін алмастыра отырып, қайта жазайық:
\(\displaystyle (3z\,)^2-30z+25=\color{blue}{(3z\,)}^2-2\cdot\color{blue}{3z}\cdot b+b^{\, 2}.\)
\(\displaystyle z\) параметрі бар өрнектің сол жағында \(\displaystyle 30z,\) ал оң жағында \(\displaystyle 2\cdot 3z\cdot b\) қосылғышы тұр. Оларды теңестіреміз:
\(\displaystyle 30z=2\cdot 3z\cdot b,\)
\(\displaystyle b=\frac{30z}{2\cdot 3z},\)
\(\displaystyle b=5.\)
Осылайша, \(\displaystyle a=3z\) және \(\displaystyle b=5.\)
\(\displaystyle (3z\,)^2-30z+25=(a-b\,)^2\) теңдігін алмастыра отырып, келесіні аламыз
\(\displaystyle 9z^{\,2}-30z+25=(3z-5)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (3z-5)^2.\)