Теориясы: Алмастыру әдісі

Сызықтық теңдеулер жүйесі берілген:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}5x+3y=&25{\small ,}\\3x-8y=&-34{\small .}\end{aligned}\right.\)

Ауыстыру әдісін қолдану үшін айнымалылардың бірі екіншісімен өрнектелуі керек.

Айнымалыны өрнектеу үшін \(\displaystyle x\) арқылы \(\displaystyle y\,{\small }\) жүйенің бірінші теңдеуін қолданамыз:

\(\displaystyle \begin{array}{c}5x+3y=25{\small ,}\\5x=-3y+25{\small ,}\\x=-\frac{3}{5}y+5{\small .}\end{array}\)

Әрі қарай, бастапқы жүйеде

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{5x+3y=}&\color{blue}{25}{\small ,}\\3x-8y=&-34\end{aligned}\right.\)

бірінші \(\displaystyle \color{blue}{5x+3y=25}\) теңдеуді \(\displaystyle \color{green}{x=-\frac{3}{5}y+5}{\small }\) ауыстырыңыз. Содан кейін

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&\color{green}{x=-{\small \frac{3}{5}}y+5}{\small ,}\\&3x-8y=-34{\small .}\end{aligned}\right.\)

Енді бұл белгілі болғандықтан  \(\displaystyle \color{green}{x=-\frac{3}{5}y+5}{\small ,}\) екінші сызықтық теңдеуде \(\displaystyle \color{green}{x}\) орнына \(\displaystyle \color{green}{-\frac{3}{5}y+5}\) қоюға болады (алмастыру әдісі):

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{5}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&\color{green}{x=-{\small \frac{3}{5}}y+5}{\small ,}\\&3\cdot \left(\color{green}{-{\small \frac{3}{5}}y+5}\right)-8y=-34{\small .}\end{aligned}\end{array}\)

Біз бір \(\displaystyle y\,{\small }\) айнымалымнан екінші теңдеу сызықтық теңдеу болатын жүйені аламыз:

\(\displaystyle 3\cdot \left(-\frac{3}{5}y+5\right)-8y=-34{\small .}\)

 \(\displaystyle y\,{\small}\) табу үшін шешіңіз:

\(\displaystyle \begin{array}{c}3\cdot \left(-\frac{3}{5}y+5\right)-8y=-34{\small ,}\\[10px]-\left(3\cdot \frac{3}{5}\right)y+3\cdot 5-8y=-34{\small ,}\\[10px]-\frac{9}{5}y+15-8y=-34{\small ,}\\[10px]-\frac{9}{5}y-8y=-15-34{\small ,}\\[10px]-\frac{49}{5}y=-49{\small ,}\\y=5{\small .}\end{array}\)

Одан әрі жүйеде

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{5}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&x=-{\small \frac{3}{5}}y+5{\small ,}\\&\color{blue}{3\cdot \left(-{\small \frac{3}{5}}y+5\right)-8y=-34}\end{aligned}\end{array}\)

\(\displaystyle \color{blue}{3\cdot \left(-\frac{3}{5}y+5\right)-8y=-34}\) екінші сызықтық теңдеу \(\displaystyle \color{green}{y=5}{\small }\) ке ауыстырылса, мынаны аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=-{\small \frac{3}{5}}y+5{\small ,}\\&\color{green}{y=5}{\small .}\end{aligned}\right.\)

Оның орнына жүйенің бірінші теңдеуіне ауыстыру әдісін қайтадан қолданамыз \(\displaystyle y\) санын \(\displaystyle {\bf 5}{\small }\) ауыстырыңыз. Аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=-{\small \frac{3}{5}}\cdot 5+5{\small ,}\\&y=5\end{aligned}\right.\)

немесе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=2{\small ,}\\&y=5{\small .}\end{aligned}\right.\)

Жауабы: \(\displaystyle x=2{\small ,}\;y=5{\small .}\)