Используя метод подстановки, решите систему линейных уравнений:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x+5y=&15{\small ,}\\ 3x-8y=&7{\small .} \end{aligned} \right. \)
Выразите \(\displaystyle x\) из первого уравнения:
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{5}{3}} \end{aligned}} \right. \) |
\(\displaystyle x=\) |
| \(\displaystyle 3x-8y=7{\small ,}\) |
Дана система линейных уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x+5y=&15{\small ,}\\3x-8y=&7{\small .}\end{aligned}\right.\)
Для того чтобы воспользоваться методом подстановки, надо выразить одну из переменных через другую.
Используем первое уравнение системы, чтобы выразить переменную \(\displaystyle x\) через \(\displaystyle y\,{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{array}{c}2x+5y=15{\small ,}\\2x=-5y+15{\small ,}\\(2x\,):2=(-5y+15):2{\small ,}\\[10px]x={\bf -\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}}{\small .}\end{array}\)
Далее, в исходной системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{2x+5y=}&{15}{\small ,}\\3x-8y=&7\end{aligned}\right.\)
заменим первое уравнение \(\displaystyle \color{blue}{2x+5y=15}\) на \(\displaystyle \color{green}{x=-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}}{\small .}\) Тогда
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&\color{green}{x={\small -\frac{5}{2}}y+{\small \frac{15}{2}}}{\small ,}\\&3x-8y=7{\small .}\end{aligned}\right.\)
Теперь, так как известно, что \(\displaystyle \color{green}{x}=\color{green}{-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}}{\small ,}\) то во втором линейном уравнении можно вместо \(\displaystyle \color{green}{x}\) подставить \(\displaystyle -\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}\) (метод подстановки):
\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{5}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&\color{green}{x}=\color{green}{-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}}{\small ,}\\&3\cdot \left({\small -\frac{5}{2}}y+{\small \frac{15}{2}}\right)-8y=7{\small .}\end{aligned}\end{array}\)
Получаем систему, в которой второе уравнение – это линейное уравнение от одной переменной \(\displaystyle y\,{\small :}\)
\(\displaystyle 3\cdot \left(-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}\right)-8y=7{\small .}\)
Решим его, чтобы найти \(\displaystyle y\,{\small:}\)
\(\displaystyle \begin{array}{c}3\cdot \left(-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}\right)-8y=7{\small ,}\\[10px]-3\cdot \frac{5}{2}y+3\cdot\frac{15}{2}-8y=7{\small ,}\\[10px]-\frac{15}{2}y+\frac{45}{2}-8y=7{\small ,}\\[10px]-\frac{15}{2}y-8y=-\frac{45}{2}+7{\small ,}\\[10px]-\frac{31}{2}y=-\frac{31}{2}{\small ,}\\y=1{\small .}\end{array}\)
Далее в системе
\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{5}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&x={\small -\frac{5}{2}}y+{\small \frac{15}{2}}{\small ,}\\&\color{blue}{3\cdot \left({\small -\frac{5}{2}}y+{\small \frac{15}{2}}\right)-8y=7}\end{aligned}\end{array}\)
второе линейное уравнение \(\displaystyle \color{blue}{3\cdot \left(-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}\right)-8y=7}\) заменяем на \(\displaystyle \color{green}{y=1}{\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x={\small -\frac{5}{2}}y+{\small \frac{15}{2}}{\small ,}\\&\color{green}{y=1}{\small .}\end{aligned}\right.\)
Снова применим метод подстановки: в первое уравнение системы вместо \(\displaystyle y\) подставим число \(\displaystyle {\bf 1}{\small .}\) Получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x={\small -\frac{5}{2}}\cdot {\bf 1}+{\small \frac{15}{2}}{\small ,}\\&y=1\end{aligned}\right.\)
или
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=5{\small ,}\\&y=1{\small .}\end{aligned}\right.\)
| Ответ: | \(\displaystyle \bf x=-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2};\) |
| \(\displaystyle x=5{\small ,}\;y=1{\small .}\) |