Теңдеуді шешіңіз (егер түбірлер екі немесе одан да көп болса, жауабында олардың ең кішісін жазыңыз):
\(\displaystyle \log_3(8+10x)-2=\log_3(3+x){\small .}\)
\(\displaystyle x=\)
Алдымен \(\displaystyle \log_3(8+10x)-2=\log_3(3+x)\) теңдеуін шешейік, содан кейін тексеру жасаймыз.
Теңдеудің екі бөлігін де бірдей негізді логарифмдер түрінде көрсетейік.
Сол жақ бөлігін негізі \(\displaystyle 3\) болатын логарифм ретінде қайта жазайық.
Логарифм анықтамасы бойынша
\(\displaystyle 2=\log_3 3^2=\log_3 9{\small .}\)
Келесіні аламыз:
\(\displaystyle \log_3(8+10x)-\log_3 9 =\log_3 (3+x){\small .}\)
Логарифм қасиеттері бойынша
\(\displaystyle \log _3(8+10x)-\log _3 9=\log_3 \frac{8+10x}{9}{\small .}\)
Сонда \(\displaystyle \log_3(8+10x)-\log_3 9=\log_3 (3+x)\) теңдеуін келесідей қайта жазуға болады
\(\displaystyle \log _3\frac{8+10x}{9}=\log_3 (3+x){\small .}\)
Екі бөлікте де бірдей негізді логарифмдер тұр. Мұндай логарифмдер, егер олардың аргументтері тең болса, тең болады:
\(\displaystyle \frac{8+10x}{9}=3+x {\small .}\)
Екі бөлігін де \(\displaystyle 9\) көбейтіп, алынған сызықтық теңдеуді шешеміз:
\(\displaystyle 8+10x=27+9x{\small ,}\)
\(\displaystyle 10x-9x=27-8{\small ,}\)
\(\displaystyle x=19{\small .}\)
Тексеру: \(\displaystyle x=19\) бастапқы теңдеуге қояйық. Келесіні аламыз:
\(\displaystyle \log_3(8+10\cdot 19)-2=\log_3(3+19){\small ,}\)
\(\displaystyle \log_3 198-\log_3 9=\log_3 22{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_3 \frac{198}{9}=\log_3 22\) – дұрыс.
Жауабы: \(\displaystyle 19{\small .} \)