Теңдеуді шешіңіз (егер түбірлер екі немесе одан да көп болса, жауабында олардың ең кішісін жазыңыз):
\(\displaystyle \log_2(8+4x)=\log_2(30+2x)-\log_2 3{\small .}\)
\(\displaystyle x=\)
Алдымен \(\displaystyle \log_2(8+4x)=\log_2(30+2x)-\log_2 3\) теңдеуін шешейік, содан кейін тексеру жасаймыз.
Теңдеудің екі бөлігін де бірдей негізді логарифмдер түрінде көрсетейік.
Логарифм қасиеттері бойынша
\(\displaystyle \log _{2}(30+2x)-\log _{2} 3=\log_2 \frac{30+2x}{3}{\small .}\)
Сонда \(\displaystyle \log_{2}(8+4x)=\log_2 (30+2x)-\log_{2}3\) теңдеуін келесідей қайта жазуға болады
\(\displaystyle \log _{2}(8+4x)=\log_2 \frac{30+2x}{3}{\small .}\)
Екі бөлікте де бірдей негізді логарифмдер тұр. Мұндай логарифмдер, егер олардың аргументтері тең болса, тең болады:
\(\displaystyle 8+4x=\frac{30+2x}{3} {\small .}\)
Екі бөлігін де \(\displaystyle 3\) көбейтіп, алынған сызықтық теңдеуді шешеміз:
\(\displaystyle 3(8+4x)=30+2x{\small ,}\)
\(\displaystyle 24+12x=30+2x{\small ,}\)
\(\displaystyle 10x=6{\small ,}\)
\(\displaystyle x=0{,}6{\small .}\)
Тексеру: \(\displaystyle x=0{,}6\) бастапқы теңдеуге қояйық. Келесіні аламыз:
\(\displaystyle \log_{2}(8+4\cdot 0{,}6)=\log_{2}(30+2\cdot{0{,}6})-\log_2 3{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_2 10{,}4=\log_2 31{,}2-\log_2 3{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_2 10{,}4=\log_2 \frac{31{,}2}{3}\) – дұрыс.
Жауабы: \(\displaystyle 0{,}6{\small .} \)