Найдите значение логарифма (до первого знака после запятой):
\(\displaystyle \log_{2}(3)=\)\(\displaystyle ,\)\(\displaystyle \ldots\)
если известно, что \(\displaystyle 2^{15}<3^{10}<2^{16}.\)
Логарифмом положительного числа \(\displaystyle \color{blue}{b}\) по основанию \(\displaystyle \color{green}{a}{\small,}\) где \(\displaystyle \color{green}{a}>0{\small,}\) \(\displaystyle \color{green}{a}\,\cancel{=}\,1{\small,}\) называется такое число \(\displaystyle \color{red}{c}{\small,}\) что
\(\displaystyle \color{green}{a}^{\color{red}{c}}=\color{blue}{b}{\small.}\)
Это число \(\displaystyle \color{red}{c}\) обозначается как \(\displaystyle \log_\color{green}{a} \color{blue}{b}{\small.}\)
Согласно определению, \(\displaystyle \log_\color{green}{2} (\color{blue}{3})\) – это такое число \(\displaystyle \color{red}{c}\), что \(\displaystyle \color{green}{2}^{\color{red}{c}}=\color{blue}{3}{\small .}\) Тогда
\(\displaystyle \left( 2^c \right)^{10}=3^{10}{\small ,}\)
\(\displaystyle 2^{10 \cdot c}=3^{10}{\small .}\)
По условию задачи,
\(\displaystyle 2^{15}<3^{10}<2^{16}{\small ,}\)
следовательно
\(\displaystyle 2^{15}<2^{10 \cdot c}<2^{16}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle 15<10 \cdot c<16{\small ,}\)
(разделим на \(\displaystyle 10\))
\(\displaystyle 1{,}5<c<1{,}6{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle c=1{,}5\ldots \)
Ответ:\(\displaystyle c=1{,}5\ldots \)