Skip to main content

Теориясы: \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) типті элементар иррационал теңдеу.

Тапсырма

Теңдеудің түбірін табыңыз:

\(\displaystyle \sqrt{4x+13}=2x+5{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=\)
-1
\(\displaystyle x_2=\)
  • егер бір ғана түбір болса, онда екінші ұяшықты бос қалдырыңыз;
  • егер шешімдер жоқ болса, онда бірінші ұяшыққа белгіні қойыңыз \(\displaystyle \varnothing\)
Шешім

Правило

Иррационал теңдеу \(\displaystyle \sqrt{f(x)}=g(x)\) жүйеге мәндес

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g(x)^2{ \small ,}\\g(x)&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Осы ережені теңдеу үшін қолданайық  \(\displaystyle \sqrt{4x+13}=2x+5{\small .}\)

Сонда \(\displaystyle \sqrt{4x+13}=2x+5\) теңдеу жүйеге мәндес болады.

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}4x+13&=(2x+5)^2{ \small ,}\\2x+5&\ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Жүйедегі бірінші теңдеуді шешеміз және алынған шешімдердің қайсысы жүйенің екінші теңсіздігін қанағаттандыратынын тексереміз.

Квадрат теңдеудің  \(\displaystyle 4x+13=(2x+5)^2\) шешімдері бар \(\displaystyle x_1=-3\) және \(\displaystyle x_2=-1{\small .}\)

\(\displaystyle 4x+13=(2x+5)^2{ \small ,}\)

\(\displaystyle 4x^2+16x+12=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle D=16^2-4\cdot 4\cdot 12=256-192=64=8^{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{-16-\sqrt{64}}{2\cdot 4}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-16+\sqrt{64}}{2 \cdot 4}{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_1=-3{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2=-1{\small .}\)

Түбір \(\displaystyle x=-3\) теңсіздікті \(\displaystyle 2x+5\ge 0{ \small ,}\) қанағаттандырмайды, өйткені

\(\displaystyle 2\cdot (-3)+5< 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle -1< 0{\small .}\)

Түбір \(\displaystyle x=-1\) теңсіздікті \(\displaystyle 2x+5\ge 0{ \small ,}\) қанағаттандырады, өйткені

\(\displaystyle 2\cdot (-1)+5\ge 0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 3\ge 0{\small .}\)

Сонымен, \(\displaystyle x=-1\) – иррационал теңдеудің шешімі болып табылады.

Жауабы: \(\displaystyle -1{\small .}\)