Теориясы: Максимум және минимум (логарифмдік функциялар)

Жақшаларды ашамыз. Қосындының туындысы туындылардың қосындысына тең.

Яғни

\(\displaystyle\left(f(x)=3x-\ln\left(x+3\right)^3\right)^{\prime}=\left(3x\right)^{\prime}-\left(\ln(x+3)^3\right)^{\prime}=3-\left(\ln(x+3)^3\right)^{\prime}{\small.}\)

 \(\displaystyle \ln(x+3)^3{\small}\) құрама функциясының туындысын табу керек.

Ережені қолдана отырып, оны кезең-кезеңімен орындайық.

Әрбір кезеңнің міндеті  \(\displaystyle h(g(x))\) функциясының туындысын қарапайым функцияның \(\displaystyle g(x){\small}\) туындысын есептеуге келтіру.

1-кезең. \(\displaystyle h(g(x))=\ln(x+3)^3{\small}\) деп белгілеңіз. Сонда::

\(\displaystyle\boxed{\begin{aligned}h(\color{blue}{g(x)})=\ln\color{blue}{(x+3)^3}\end{aligned}}\longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{ \begin{aligned}&h(x)=\ln(x)\\&\color{blue}{g(x)=(x+3)^3}\end{aligned}}\longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{\begin{aligned}&h^{\prime}(x)=(\ln(x))^{\prime}=\frac{1}{x}\\&\color{red}{h^{\prime}(g)=\frac{1}{(x+3)^3}}\end{aligned}} \longrightarrow\)

\(\displaystyle \longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\left(\ln(x+3)^3\right)^{\prime}=\color{red}{\frac{1}{(x+3)^3}}\cdot\left(\color{blue}{(x+3)^3}\right)^{\prime}\end{aligned}{\small.}}\)

Алынған:

\(\displaystyle 3-\left(\ln(x+3)^3\right)^{\prime}=3-{\frac{1}{(x+3)^3}}\cdot\left({(x+3)^3}\right)^{\prime}{\small.}\)

Қарапайым функцияның туындысын есептеуге көшеміз \(\displaystyle (x+3)^3{\small.}\)

2-кезең. \(\displaystyle h(g(x))=(x+3)^3{\small}\) деп белгілеңіз. Сонда:

\(\displaystyle \begin{aligned}\boxed{h(\color{blue}{g(x)})=(\color{blue}{x+3})^3}\end{aligned} \longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{\begin{aligned}&h(x)=x^3\\&\color{blue}{g(x)=x+3}\end{aligned}} \longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{\begin{aligned}&h^{\prime}(x)=(x^3)^{\prime}=3x^2\\&\color{red}{h^{\prime}(g)=3(x+3)^2}\end{aligned}} \longrightarrow\)

\(\displaystyle \longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\left((x+3)^3\right)^{\prime}=\color{red}{3(x+3)^2}\cdot\left(\color{blue}{x+3}\right)^{\prime}\end{aligned}{\small.}}\)

Алынған:

\(\displaystyle 3-{\frac{1}{(x+3)^3}}\cdot\left({(x+3)^2}\right)^{\prime}=3-\frac{1}{(x+3)^3}\cdot{3(x+3)^2}\cdot\left({x+3}\right)^{\prime}{\small.}\)

Қарапайым функцияның туындысын есептеуге көшейік \(\displaystyle x+3{\small.}\)

3-кезең. \(\displaystyle \left({x+3}\right)^{\prime}=(x)^{\prime}+(3)^{\prime}=1+0=1{\small}\) болғандықтан мынаны аламыз:

\(\displaystyle 3-\frac{1}{(x+3)^3}\cdot{3(x+3)^2}\cdot\left({x+3}\right)^{\prime}=3-\frac{1}{(x+3)^3}\cdot{3(x+3)^2}\cdot1=3-\frac{3}{x+3}{\small.}\)

Функцияны бөлшек түрінде қайта жазайық:

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=3-\frac{3}{x+3}=\frac{3(x+3)-3}{x+3}=\frac{3x+6}{x+3}{\small.}\)

Осы рационал өрнектің алымының түбірін табайық:

\(\displaystyle 3x+6=0{\small ,}\)

\(\displaystyle 3x=-6{\small ,} \)

\(\displaystyle x=-2{\small.}\)

Бөлгіштің түбірлерін табайық:

\(\displaystyle x+3=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=-3{\small.}\)

Сан түзуіндегі туындының алымы мен бөлгішінің түбірін белгілеңіз. Бастапқы функцияның анықталу облысын қарастыра отырып \(\displaystyle x> -3{\small,}\) аламыз:

Сонымен, туындының тұрақты таңбасының интервалдары:

\(\displaystyle {\left(-3;\, -2\right)}{\small,}\) \(\displaystyle {\left(-2;\,+\infty\right)}{\small.}\)

Функцияның \(\displaystyle f^{\prime}(x)=3-\frac{3}{x+3}\) әрбір интервалдағы таңбасын анықтайық:

\(\displaystyle \color{blue}{\left(-3;\, -2\right)}{\small,}\) \(\displaystyle \textcolor{green}{\left(-2;\,+\infty\right)}{\small.}\)

Ол үшін интервалдардың әрқайсысынан нүктені таңдаймыз және осы нүктедегі функцияның таңбасын анықтаймыз. Аламыз:

• \(\displaystyle \color{blue}{x=-2{,}5 \in \left(-3;\, -2\right)}\) белгісі үшін \(\displaystyle f^{\prime}(\color{blue}{-2{,}5})=3-\frac{3}{3+(-2{,}5)}=3-6\color{red}{<}0{\small ;}\)
• \(\displaystyle \color{green}{x=0 \in{\left(-2;\,+\infty\right)}}\) белгісі үшін \(\displaystyle f^{\prime}(\color{green}{0})=3-\frac{3}{3+0}=3-1\color{red}{>}0{\small .}\)

білдіреді,

•  \(\displaystyle \color{green}{\left(-2;\, +\infty \right)}\) функциясы \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small}\) интервалында,
•  \(\displaystyle \textcolor{blue}{\left(-3;\,-2\right)}\) функциясы \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small}\) интервалында.