\(\displaystyle f(x)=x^2-10x+12\ln x\) кесіндідегі \(\displaystyle [1;\,4]{\small}\) функциясының ең кіші мәнін табыңыз.
\(\displaystyle f(x)=x^2-10x+12\ln x{\small}\) функциясының анықтау облысын жазайық.
\(\displaystyle \ln x\) тек \(\displaystyle x>0{\small}\) болғанда ғана анықталғандықтан, анықтау облысы пішінге ие болады.
\(\displaystyle x > 0{\small.}\)
1) \ \(\displaystyle f(x)=x^2-10x+12\ln x{\small}\) функциясының туындысын табыңыз.
2) Тұрақтылық \(\displaystyle f^{\prime}(x)=2x-10+\frac{12}{x}{\small}\) интервалдарын табыңыз
3) Алынған интервалдар бойынша туындының белгілерін анықтайық.
- \(\displaystyle \color{green}{\left(0;\, 2\right)}\) және \(\displaystyle \textcolor{Purple}{\left(3;\, +\infty\right)}\) аралықтарында \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small}\) функциясы,
- \\(\displaystyle \textcolor{blue}{\left(2;\,3\right)}\) интервалында \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small}\) функциясы.
Суреттегі туындының белгілерін белгілей отырып, біз аламыз:
4) \(\displaystyle f(x)=x^2-10x+12\ln x{\small}\) ережені пайдаланып функцияның өсу және кему аралықтарын анықтайық.
Егер кез келген нүкте үшін \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) туынды \(\displaystyle f'(x_0)\) бар болса және \(\displaystyle f'(x_0)>0{\small}\) болса, онда
\(\displaystyle f(x)\) функциясы бүкіл интервалда \(\displaystyle (a;\,b){\small}\) өсуде ( seаrrow )
Егер кез келген нүкте үшін \(\displaystyle x_0\in(a;\,b)\) туынды \(\displaystyle f'(x_0)\) бар болса және \(\displaystyle f'(x_0)<0{\small}\) болса, онда
\(\displaystyle f(x)\) функциясы бүкіл интервалда \(\displaystyle (a;\,b){\small}\) кемуде ( seаrrow )
\(\displaystyle f'(x){\small}\) туындының белгілерін білу \(\displaystyle f(x){\small}\) өсу және кему аралықтарын анықтау
Схемалық \(\displaystyle f(x){\small}\) түрде көрсетіңіз
\(\displaystyle x=2\) және \(\displaystyle x=3\) нүктелері \(\displaystyle f(x){\small}\) облысына жатады.
Демек, \(\displaystyle x=2\) – функцияның ең үлкен нүктесі \(\displaystyle f(x)=x^2-10x+12\ln x{\small.}\)
Ал \(\displaystyle x=3\) – нүктесі ең кіші нүкте болып табылады.
5) \(\displaystyle \left[1;\,4\right]\) аралық нүктелерінің қайсысында ең кіші мәнге жеткенін анықтайық.
Суреттегі интервалға назар аударыңыз \(\displaystyle \left[1;\,4\right]{\small:}\)
\(\displaystyle \left[1;\,4\right]\) кесіндісінде \(\displaystyle f(x)\) функциясы өзінің ең кіші мәніне не минималды нүктеде \(\displaystyle \color{green}{x=3}{ \small }\) немесе сол жақ шетінде \(\displaystyle \color{blue}{x=1}{\small}\) жететінін көруге болады.
Осы нүктелердегі мәндерді есептеп, оларды салыстырайық:
\(\displaystyle f\left(\color{green}{3}\right)=3^2-10\cdot3+12\ln 3=9-30+12\ln3=\color{green}{-21+12\ln 3}{\small,}\)
\(\displaystyle f(\color{blue}{1})=1^2-10\cdot1+12\ln1=1-10+12\cdot0=\color{blue}{-9}{\small.}\)
Өйткені \(\displaystyle 3>e{\small,}\) онда \(\displaystyle \ln3>1 {\small}\) білдіреді,
\(\displaystyle \color{green}{-21+12\ln 3}>-21+12\cdot1=\color{blue}{-9}{\small.}\)
Яғни \(\displaystyle f(\color{green}{3})>f(\color{blue}{1}){\small.}\)
Демек, ең кіші мәнге \(\displaystyle \color{blue}{x=1}\) нүктесінде жетеді және ол \(\displaystyle f(\color{blue}{1})=\color{blue}{-9}{\small}\) тең болады.
Жауабы: \(\displaystyle -9{\small.}\)