Теориясы: Максимум және минимум (логарифмдік функциялар)

Жақшаларды ашамыз. Қосындының туындысы туындылардың қосындысына тең. Яғни

\(\displaystyle\left(9x-\ln \left(9x\right)+3\right)^{\prime}=\left(9x\right)^{\prime}-\left(\ln(9x)\right)^{\prime}+(3)^{\prime}=9-\left(\ln(9x)\right)^{\prime}+0=9-\left(\ln(9x)\right)^{\prime}{\small.}\)

 \(\displaystyle \ln(9x){\small}\) күрделі функцияның туындысын табу керек.

Ережені қолдана отырып, оны кезең-кезеңімен орындайық.

Әрбір кезеңнің міндеті \(\displaystyle h(g(x))\) функциясының туындысын қарапайым функцияның \(\displaystyle g(x){\small}\) туындысын есептеуге келтіру.

1-кезең. \(\displaystyle h(g(x))=\ln(9x){\small}\) деп белгілеңіз.  Сонда::

\(\displaystyle \boxed{h(\color{blue}{g(x)})=\ln\color{blue}{(9x)}}\longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{ \begin{aligned}&h(x)=\ln(x)\\&\color{blue}{g(x)=9x}\end{aligned}}\longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{\begin{aligned}&h^{\prime}(x)=(\ln(x))^{\prime}=\frac{1}{x}\\&\color{red}{h^{\prime}(g)=\frac{1}{9x}}\end{aligned}} \longrightarrow\)

\(\displaystyle \longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\left(\ln(9x)\right)^{\prime}=\color{red}{\frac{1}{9x}}\cdot\left(\color{blue}{9x}\right)^{\prime}\end{aligned}{\small.}}\)

Алынған:

\(\displaystyle 9-\left(\ln(9x)\right)^{\prime}=9-{\frac{1}{9x}}\cdot\left({9x}\right)^{\prime}{\small.}\)

Қарапайым функцияның туындысын есептеуге көшеміз \(\displaystyle 9x{\small.}\)

2-кезең. \(\displaystyle \left({9x}\right)^{\prime}=9\cdot(x)^{\prime}=9\cdot1=9{\small}\) болғандықтан мынаны аламыз::

\(\displaystyle 9-\frac{1}{9x}\cdot\left({9x}\right)^{\prime}=9-\frac{1}{9x}\cdot9=9-\frac{1}{x}{\small.}\)

Функцияны бөлшек түрінде қайта жазайық:

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=9-\frac{1}{x}=\frac{9x-1}{x}{\small.}\)

Осы рационал өрнектің алымының түбірін табайық:

\(\displaystyle 9x-1=0{\small,}\)

\(\displaystyle 9x=1{\small,}\)

\(\displaystyle x=\frac{1}{9}{\small.}\)

Бөлгіштің түбірлерін табайық:

\(\displaystyle x=0{ \small .} \)

Сан түзуіндегі туындының алымы мен бөлгішінің түбірін белгілеңіз. Бастапқы функцияның анықталу облысын ескере отырып \(\displaystyle x> 0{\small,}\) аламыз:

Сонымен, туындының тұрақты таңбасының интервалдары:

\(\displaystyle {\left(0;\, \frac{1}{9}\right)}{\small,}\) \(\displaystyle {\left(\frac{1}{9};\,+\infty\right)}{\small.}\)

Функцияның таңбасы \(\displaystyle f^{\prime}(x)=9-\frac{1}{x}\) аралықтардың әрқайсысында анықталсын:

\(\displaystyle \color{blue}{\left(0;\, \frac{1}{9}\right)}{\small,}\) \(\displaystyle \textcolor{green}{\left(\frac{1}{9};\,+\infty\right)}{\small.}\)

Ол үшін интервалдардың әрқайсысынан нүктені таңдаймыз және осы нүктедегі функцияның таңбасын анықтаймыз. Аламыз:

• \(\displaystyle \color{blue}{x=\frac{1}{10} \in \left(0;\, \frac{1}{9}\right)}\) белгісі үшін \(\displaystyle f^{\prime}\left(\color{blue}{\frac{1}{10}}\right)=9-\frac{1}{\frac{1}{10}}=9-10\color{red}{<}0{\small ;}\)
• \(\displaystyle \color{green}{x=1 \in{\left(\frac{1}{9};\,+\infty\right)}}\) белгісі үшін \(\displaystyle f^{\prime}\left(\color{green}{1}\right)=9-\frac{1}{1}=9-1\color{red}{>}0{\small .}\)

білдіреді,

•  \(\displaystyle \color{green}{\left(\frac{1}{9};\, +\infty\right)}\) функциясы бойынша  \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
•  \(\displaystyle \textcolor{blue}{\left(0;\,\frac{1}{9}\right)}\) интервалында \(\displaystyle f^{\prime}(x<0{\small}\) функциясы.