Теория: Максимум и минимум (логарифмические функции)

Раскроем скобки. Производная суммы равна сумме производных.

То есть 

\(\displaystyle\left(f(x)=3x-\ln\left(x+3\right)^3\right)^{\prime}=\left(3x\right)^{\prime}-\left(\ln(x+3)^3\right)^{\prime}=3-\left(\ln(x+3)^3\right)^{\prime}{\small.}\)

Остается найти производную сложной функции \(\displaystyle \ln(x+3)^3{\small .}\)

Сделаем это поэтапно, используя правило.

Задача каждого этапа – свести вычисление производной функции \(\displaystyle h(g(x))\) к вычислению производной более простой функции  \(\displaystyle g(x){\small.}\)

Этап 1. Обозначим \(\displaystyle h(g(x))=\ln(x+3)^3{\small.}\) Тогда:

\(\displaystyle\boxed{\begin{aligned}h(\color{blue}{g(x)})=\ln\color{blue}{(x+3)^3}\end{aligned}}\longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{ \begin{aligned}&h(x)=\ln(x)\\&\color{blue}{g(x)=(x+3)^3}\end{aligned}}\longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{\begin{aligned}&h^{\prime}(x)=(\ln(x))^{\prime}=\frac{1}{x}\\&\color{red}{h^{\prime}(g)=\frac{1}{(x+3)^3}}\end{aligned}} \longrightarrow\)

\(\displaystyle \longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\left(\ln(x+3)^3\right)^{\prime}=\color{red}{\frac{1}{(x+3)^3}}\cdot\left(\color{blue}{(x+3)^3}\right)^{\prime}\end{aligned}{\small.}}\)

Получили:

\(\displaystyle 3-\left(\ln(x+3)^3\right)^{\prime}=3-{\frac{1}{(x+3)^3}}\cdot\left({(x+3)^3}\right)^{\prime}{\small.}\)

Переходим к вычислению производной более простой функции \(\displaystyle (x+3)^3{\small.}\)

Этап 2. Обозначим \(\displaystyle h(g(x))=(x+3)^3{\small.}\) Тогда:

\(\displaystyle \begin{aligned}\boxed{h(\color{blue}{g(x)})=(\color{blue}{x+3})^3}\end{aligned} \longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{\begin{aligned}&h(x)=x^3\\&\color{blue}{g(x)=x+3}\end{aligned}} \longrightarrow\) \(\displaystyle \boxed{\begin{aligned}&h^{\prime}(x)=(x^3)^{\prime}=3x^2\\&\color{red}{h^{\prime}(g)=3(x+3)^2}\end{aligned}} \longrightarrow\)

\(\displaystyle \longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\left((x+3)^3\right)^{\prime}=\color{red}{3(x+3)^2}\cdot\left(\color{blue}{x+3}\right)^{\prime}\end{aligned}{\small.}}\)

Получили:

\(\displaystyle 3-{\frac{1}{(x+3)^3}}\cdot\left({(x+3)^2}\right)^{\prime}=3-\frac{1}{(x+3)^3}\cdot{3(x+3)^2}\cdot\left({x+3}\right)^{\prime}{\small.}\)

Переходим к вычислению производной более простой функции \(\displaystyle x+3{\small.}\)

Этап 3. Так как \(\displaystyle \left({x+3}\right)^{\prime}=(x)^{\prime}+(3)^{\prime}=1+0=1{\small,}\) получаем:

\(\displaystyle 3-\frac{1}{(x+3)^3}\cdot{3(x+3)^2}\cdot\left({x+3}\right)^{\prime}=3-\frac{1}{(x+3)^3}\cdot{3(x+3)^2}\cdot1=3-\frac{3}{x+3}{\small.}\)

Перепишем функцию в виде дроби:

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=3-\frac{3}{x+3}=\frac{3(x+3)-3}{x+3}=\frac{3x+6}{x+3}{\small.}\)

Найдем корни числителя этого рационального выражения:

\(\displaystyle 3x+6=0{\small ,}\)

\(\displaystyle 3x=-6{\small ,} \)

\(\displaystyle x=-2{\small.}\)

Найдем корни знаменателя:

\(\displaystyle x+3=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=-3{\small.}\)

Отметим корни числителя и знаменателя производной на числовой прямой. Учитывая область определения исходной функции \(\displaystyle x> -3{\small,}\) получаем:

Таким образом, интервалы знакопостоянства производной:

\(\displaystyle {\left(-3;\, -2\right)}{\small,}\) \(\displaystyle {\left(-2;\,+\infty\right)}{\small.}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f^{\prime}(x)=3-\frac{3}{x+3}\) на каждом из интервалов:

\(\displaystyle \color{blue}{\left(-3;\, -2\right)}{\small,}\) \(\displaystyle \textcolor{green}{\left(-2;\,+\infty\right)}{\small.}\)

Для этого выберем по точке на каждом из интервалов и определим в этой точке знак функции. Получаем:

• для \(\displaystyle \color{blue}{x=-2{,}5 \in \left(-3;\, -2\right)}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\color{blue}{-2{,}5})=3-\frac{3}{3+(-2{,}5)}=3-6\color{red}{<}0{\small ;}\)
• для \(\displaystyle \color{green}{x=0 \in{\left(-2;\,+\infty\right)}}\) знак \(\displaystyle f^{\prime}(\color{green}{0})=3-\frac{3}{3+0}=3-1\color{red}{>}0{\small .}\)

Значит,

• на интервале \(\displaystyle \color{green}{\left(-2;\, +\infty \right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)>0{\small,}\)
• на интервале \(\displaystyle \textcolor{blue}{\left(-3;\,-2\right)}\) функция \(\displaystyle f^{\prime}(x)<0{\small.}\)