Сопоставьте правильное выражение:
\(\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\)
Каждое из выражений
\(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}\pm \alpha\right),\, \cos\left(\frac{\pi}{2}\pm \alpha\right), \sin\left(\frac{3\pi}{2}\pm \alpha\right),\, \cos\left(\frac{3\pi}{2}\pm \alpha\right),\, \sin\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right),\, \cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\displaystyle \sin\left(\pi\pm \alpha\right),\, \cos\left(\pi\pm \alpha\right), \, \sin\left(\alpha-\pi \right),\, \cos\left(\alpha-\pi\right)\)
равно либо \(\displaystyle \pm\sin\alpha{ \small ,}\) либо \(\displaystyle \pm\cos\alpha{\small .}\)
- Если в формуле участвует \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \) или \(\displaystyle \frac{3\pi}{2} { \small ,}\) то синус меняется на косинус, а косинус меняется на синус, иначе функция не меняется.
- Знак синуса и косинуса определяется по знаку исходного выражения, при условии, что угол \(\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}{\small .}\)
Так как в выражении \(\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\) участвует \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}{ \small ,}\) то
\(\displaystyle {\bf \sin}\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\,?\,{\bf \cos}\,\alpha{\small .}\)
Далее определим, какой знак должен стоять перед косинусом.
Всегда можно считать, что угол \(\displaystyle \alpha\) располагается в первой четверти тригонометрического круга:
Тогда угол \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}+\alpha\) – это угол, полученный добавлением угла \(\displaystyle \alpha \) к углу \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}{\small :}\)
Определим знак исходного выражения, то есть знак \(\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right){ \small :}\)
Знак минус. Значит,
\(\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\color{red}{-}\cos{\alpha}\)
или
\(\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos{\alpha}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos{\alpha}{\small .}\)
Используем формулу синуса суммы.
Для двух углов \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) верно
\(\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\frac{3\pi}{2}\cdot \cos\alpha+ \cos\frac{3\pi}{2}\cdot \sin\alpha{ \small .}\)
Так как \(\displaystyle \cos\frac{3\pi}{2}=0\) и \(\displaystyle \sin\frac{3\pi}{2}=-1{ \small ,}\) то получаем:
\(\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-1\cdot \cos\alpha+0\cdot \sin\alpha{ \small ,}\)
\(\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos{\alpha}{\small .}\)