Теңсіздікті шешіңіз:
\(\displaystyle \frac{ -3x+9}{ x-3}\geqslant -x{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Теңсіздікті аралық әдісімен шешу үшін теңсіздікті бір жағында нөл болатындай түрлендіреміз:
\(\displaystyle \frac{-3x+9}{x-3}\geqslant -x{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{-3x+9}{x-3}+x\geqslant 0{\small. } \)
Келесі теңсіздікті аламыз:
\(\displaystyle \frac{x^2-6x+9}{x-3}\geqslant 0{\small. } \)
Алым \(\displaystyle x^2-6x+9 \) мен бөлгіштің \(\displaystyle x-3{\small } \) түбірлерін табыңыз.
- \(\displaystyle x^2-6x+9=0{\small } \) теңдеуін шешіңіз.
- \(\displaystyle x-3=0{\small } \) теңдеуін шешіңіз.
\(\displaystyle x=3{\small.} \)
Теңсіздік белгісі қатаң емес болғандықтан
- Бөлгіштің жойылмайтын барлық нөлдері толтырылған деп белгіленеді;
- Бөлгіштің барлық нөлдері әрқашан түсірілген деп белгіленеді.
\(\displaystyle x=3 \) бөлгіш жойылатындықтан, ол түсірілген деп белгіленеді:
Бізде екі интервал бар:
\(\displaystyle (-\infty;3)\) және \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
Әрбір аралық бойынша \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-6x+9}{x-3}\) функциясының таңбасын анықтайық.
Белгілерді табу кезінде есептеулерді жеңілдету үшін біз бөлшектің алымын табылған түбір арқылы көбейткіштерге бөлеміз.
Яғни
\(\displaystyle x^2-6x+9=(x-3)(x-3)=(x-3)^2{\small .}\)
Бастапқы теңсіздікті пішінде қайта жазайық
\(\displaystyle \frac{(x-3)^2}{x-3}\geqslant 0{\small .} \)
Нәтижесінде біз аламыз:
\(\displaystyle \frac{(x-3)^2}{x-3}\geqslant 0\) теңсіздігінің шешімдері функция оң болатын және түсірілмеген шекаралық нүктелерді қамтитын аралықтарға сәйкес болғандықтан (бұл жағдайда мұндай нүктелер жоқ), онда
\(\displaystyle (3;+\infty)\) – қалаған шешім.
Жауабы: \(\displaystyle x \in (3;+\infty){\small .}\)