Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{ 1}{ x^2-3x+2 }< 0 \)
\(\displaystyle x \in \)
Найдем корни знаменателя. Для этого решим квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-3x+2=0{\small .}\)
Отметим найденные корни на числовой прямой, выкалывая их (так как знак неравенства строгий):
Получили три интервала:
\(\displaystyle (-\infty;1),\) \(\displaystyle (1;2)\) и \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}\) на каждом из интервалов.
Для упрощения вычислений при нахождении знаков разложим знаменатель дроби на множители, используя найденные корни.
То есть
\(\displaystyle x^2-3x+2=(x-1)(x-2){\small .}\)
Перепишем исходное неравенство в виде
\(\displaystyle \frac{ 1}{ (x-1)(x-2) }\geqslant 0{\small .} \)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{ (x-1)(x-2) }\) на каждом из интервалов.
- Для интервала \(\displaystyle (-\infty;1)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\)\(\displaystyle f(0)=\frac{1}{ (0-1)(0-2) }>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;1){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (1;2)\) выберем \(\displaystyle x=1{,}5{\small :}\)\(\displaystyle f(1{,}5)=\frac{1}{ (1{,}5-1)(1{,}5-2) }<0{\small .}\)Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (1;2){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\)\(\displaystyle f(4)=\frac{1}{ (4-1)(4-2) }>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)
В итоге получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{1}{ (x-1)(x-2) }< 0\) соответствуют промежуткам, где функция отрицательна, то
\(\displaystyle (1;2)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in (1;2){\small .}\)