Теңсіздікті шешіңіз:
\(\displaystyle \frac{ 1}{ x^2-3x+2 }< 0 \)
\(\displaystyle x \in \)
Бөлгіштің түбірлерін табайық. Ол үшін \(\displaystyle x^2-3x+2=0\) квадрат теңдеуді шешеміз
Табылған түбірлерді сандар сызығында белгілейміз, оларды тесіп аламыз (теңсіздік белгісі қатаң болғандықтан):
Бізде үш аралық бар:
\(\displaystyle (-\infty;1),\) \(\displaystyle (1;2)\) және \(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)
Әрбір аралық бойынша \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}\) функциясының таңбасын анықтайық.
Белгілерді табу кезінде есептеулерді жеңілдету үшін біз бөлшектің бөлгішін табылған түбірлерді пайдаланып көбейткіштерге бөлеміз.
Яғни
\(\displaystyle x^2-3x+2=(x-1)(x-2){\small .}\)
Бастапқы теңсіздікті пішінде қайта жазайық
\(\displaystyle \frac{ 1}{ (x-1)(x-2) }\geqslant 0{\small .} \)
Әрбір аралық бойынша \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{ (x-1)(x-2) }\) функциясының таңбасын анықтайық.
- \(\displaystyle (-\infty;1){\small }\) аралық үшін \(\displaystyle x=0 \) \(\displaystyle f(0)=\frac{1}{ (0-1)(0-2) }>0{\small .}\) Аралықта \(\displaystyle (-\infty;1){\small }\)
қосу таңбасын жазамыз
- \(\displaystyle (1;2){\small }\) аралық үшін \(\displaystyle x=1,5 \) \(\displaystyle f(1{,}5)=\frac{1}{ (1{,}5-1)(1{,}5-2) }<0{\small .}\) Аралықта \(\displaystyle (1;2){\small }\)
азайту таңбасын жазамыз
\(\displaystyle (2;+\infty){\small .}\)аралық үшін (x=4 : ) \(\displaystyle f(4)=\frac{1}{ (4-1)(4-2) }>0{\small .}\) Аралықта \(\displaystyle (2;+\infty){\small }\) қосу таңбасын жазамыз
Нәтижесінде біз аламыз:
\(\displaystyle \frac{1}{ (x-1)(x-2) }< 0\) теңсіздігінің шешімдері функциясы теріс болатын аралықтарға сәйкес келетіндіктен,
\(\displaystyle (1;2)\) – қалаған шешім.
Жауабы: \(\displaystyle x \in (1;2){\small .}\)