Аралық әдісі арқылы теңсіздікті шешіңіз:
\(\displaystyle x^2+2x>15{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Теңсіздікті аралық әдісімен шешу үшін теңсіздікті бір жағында нөл болатындай түрлендіреміз:
\(\displaystyle x^2+2x>15{\small ,}\)
\(\displaystyle x^2+2x-15>0{\small .}\)
Содан кейін \(\displaystyle x^2+2x-15=0{\small }\) квадрат теңдеудің барлық түбірлерін табыңыз
Табылған түбірлерді сандар сызығында белгілейміз, оларды түсіріп аламыз (теңсіздік белгісі қатаң болғандықтан):
Біз үш аралық аламыз:
\(\displaystyle (-\infty;-5){ \small ,} \, (-5;3)\) және \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
Осы аралықтардың әрқайсысында \(\displaystyle f(x)=x^2+2x-15\) функциясының таңбасын анықтайық.
\(\displaystyle (-\infty;-5)\) аралығына \(\displaystyle x=-6 \in (-\infty;-5){\small }\) таңдаймыз \(\displaystyle x=-6{ \small }\) нүктесіндегі функция мәнінің таңбасын анықтаймыз
\(\displaystyle f(-6)=(-6)^2+2\cdot(-6)-15=36-12-15>0{\small .}\)
\(\displaystyle (-\infty;-5){\small }\) аралығына қосу белгісін жазамыз
\(\displaystyle (-5;3)\) аралығына \(\displaystyle x=-4 \in (-5;3){\small }\) таңдаймыз \(\displaystyle x=-4 { \small }\) нүктесіндегі функция мәнінің таңбасын анықтаймыз
\(\displaystyle f(-4)=(-4)^2+2 \cdot(-4)-15=16-8-15<0{\small .}\)
\(\displaystyle (-5;3){\small }\) аралығына минус белгісін жазамыз
\(\displaystyle (3;+\infty)\) аралығына \(\displaystyle x=4 \in (3;+\infty){\small }\) таңдаймыз\(\displaystyle x=4 { \small }\) нүктесіндегі функция мәнінің таңбасын анықтаймыз
\(\displaystyle f(4)=4^2+2\cdot4-15=16+8-15>0{\small .}\)
\(\displaystyle (3;+\infty){\small }\) аралығына қосу белгісін жазамыз
\(\displaystyle x^2+2x-15>0\) теңсіздігінің шешімдері \(\displaystyle f(x)=x^2+2x-15\) функциясы оң болатын аралықтарға сәйкес болғандықтан, онда
\(\displaystyle (-\infty;-5) \cup(3;+\infty)\) – қалаған шешім.
Жауабы: \(\displaystyle x \in (-\infty;-5) \cup(3;+\infty){\small .}\)