Теңсіздікті шешіңіз:
\(\displaystyle (-7+x)(5x-30)^2< 0{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
\(\displaystyle (5x-30)^2 \ge 0\) өрнек кез келген \(\displaystyle x{\small }\) үшін. Мұны басқаша түрде қайта жазуға болады
\(\displaystyle (5x-30)^2>0 \) немесе \(\displaystyle (5x-30)^2=0 \) кез келген \(\displaystyle x{\small } \) үшін.
Осы әр жағдай үшін \(\displaystyle (-7+x)(5x-30)^2< 0\) теңсіздікті шешеміз .
\(\displaystyle (5x-30)^2 \) нөлден үлкен болғанда анықтаймыз. \(\displaystyle (5x-30)^2\ge 0 \) барлық \(\displaystyle x{ \small ,} \) үшін болған жағдайда, онда тек \(\displaystyle (5x-30)^2 \,\cancel{=}\, 0{\small } \) мүмкін.
Осыдан аламыз:
\(\displaystyle (5x-30)^2 \,\cancel{=}\, 0{\small ,} \)
\(\displaystyle 5x-30\,\cancel{=}\,0{ \small ,} \)
\(\displaystyle 5x\,\cancel{=}\,30{ \small ,} \)
\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,6{\small .} \)
Егер енді \(\displaystyle (5x-30)^2>0{ \small ,} \) содан кейін бұл \(\displaystyle (-7+x)(5x-30)^2{\small } \) көбейткіш өнімдегі белгіге әсер етпейді
Сондықтан теңсіздік орындалады
\(\displaystyle (-7+x)(5x-30)^2< 0{ \small ,}\)
теңсіздік орындалуы керек
\(\displaystyle -7+x< 0{\small .} \)
Алынған теңсіздікті шеше отырып, біз аламыз
\(\displaystyle x< 7{\small .} \)
\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,6{ \small ,} \) ескере отырып, аламыз:
\(\displaystyle x\in (-\infty;6)\cup (6;7){\small .} \)
\(\displaystyle (5x-30)^2=0{ \small } \) болғанда анықтаймыз
\(\displaystyle (5x-30)^2=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle 5x-30=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle 5x=30{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=6{\small .} \)
Егер енді \(\displaystyle (5x-30)^2=0{ \small ,} \) онда көбейткіш \(\displaystyle (-7+x)(5x-30)^2\) нөлге айналады.
Онда \(\displaystyle (-7+x)(5x-30)^2<0 \) теңсіздік келесі теңсіздікке айналады
\(\displaystyle 0<0{ \small .}\)
Бұл дұрыс емес теңсіздік. Демек, \(\displaystyle x{ \small } \) өрнегін \(\displaystyle (5x-30)^2 \) нөлге айналдыратын барлық мәндер бастапқы теңсіздіктің шешімдері емес.
Демек,
\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,6{\small .} \)
Алынған шешімдерді біріктіре отырып, аламыз:
\(\displaystyle x\in (-\infty;6)\cup (6;7){\small .} \)
Жауап: \(\displaystyle x\in (-\infty;6)\cup (6;7){\small .} \)