Skip to main content

Теориясы: 02 Бөлінді және сызықтық теңсіздіктер

Тапсырма

Рационалды теңсіздікті шешіңіз:

\(\displaystyle \frac{x-3}{x}\ge 0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ
Шешім

Теңсіздіктерді \(\displaystyle \frac{x-3}{x}\ge 0 \) эквивалентті теңсіздіктер жүйесі ретінде жазайық.

Барлық теңсіздік шешімдері  \(\displaystyle \frac{x-3}{x}\ge 0\) қашан алынады

  • немесе  \(\displaystyle x-3\ge 0{ \small ,}\, x> 0\) – алым теріс емес, бөлім оң;
  • немесе  \(\displaystyle x-3\le 0{ \small ,}\, x< 0\) – алым оң емес, бөлім теріс.

Егер бұл жүйелер түрінде қайта жазылса, біз аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&\ge 0{ \small ,}\\x &> 0\end{aligned}\right.\)   немесе  \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&\le 0{ \small ,}\\x&< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Барлық сандарды оңға жылжыту арқылы біз аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 3{ \small ,}\\x&> 0\end{aligned}\right.\)   немесе  \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 3{ \small ,}\\x&< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Алынған жүйелерді шешейік.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 3{ \small ,}\\ x &>0 \end{aligned} \right.\)

Теңсіздік \(\displaystyle x\ge 3\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:

 

Теңсіздік \(\displaystyle x>0\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:

 

Осылайша, \(\displaystyle x\) айнымалысы бір уақытта немесе үлкен \(\displaystyle 3\) және одан үлкен \(\displaystyle 0{\small :}\)

Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің көптеген шешімдері болады.

Сондықтан шешімдер – \(\displaystyle x\in [3;+\infty){\small .} \)


 

немесе 

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\le 3{ \small ,}\\ x &<0{\small .} \end{aligned} \right.\)

Теңсіздік \(\displaystyle x\le 3\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:

 

Теңсіздік \(\displaystyle x<0\) түзу сызықтағы нүктелер жиынына сәйкес келеді:

 

Осылайша, \(\displaystyle x\) айнымалысы бір уақытта немесе аз \(\displaystyle 3\) және одан аз \(\displaystyle 0{\small :}\)

Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің көптеген шешімдері болады.

Сондықтан шешімдер – \(\displaystyle x\in (-\infty;0){\small .} \)

 

Алынған шешімдерді біріктіре отырып, біз жауап аламыз:

\(\displaystyle x\in [3;+\infty)\qquad\) немесе  \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;0) \)


Жауап: \(\displaystyle x\in (-\infty;0)\cup [3;+\infty){\small .} \)