Представьте угол \(\displaystyle -\frac{7\pi}{2}\) радиан в виде \(\displaystyle \alpha+\color{red}{2\pi}\cdot n{\small,}\) где число \(\displaystyle n\) целое и \(\displaystyle 0\le\alpha<2\pi\).
Сначала решим задачу для угла в \(\displaystyle \frac{7\pi}{2}\) радиан.
Разделим \(\displaystyle 7\) на \(\displaystyle 2\) с остатком:
\(\displaystyle 7=3\cdot 2+1{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{7\pi}{2}=\frac{(3\cdot 2+1)\pi}{2}=3\pi+\frac{\pi}{2}{\small .}\)
Число \(\displaystyle \frac{7\pi}{2}\) мы хотим представить в виде \(\displaystyle \alpha+\color{red}{2\pi}\cdot n{\small.}\) Для этого выясним, сколько раз укладывается в нём число \(\displaystyle 2\pi{\small .}\)
Поскольку
\(\displaystyle 2\pi<3\pi<4\pi{\small,}\)
то число \(\displaystyle 2\pi\) можно уложить только \(\displaystyle 1\) раз:
\(\displaystyle {3\pi}+\frac{\pi}{2}={2\pi+\pi}+\frac{\pi}{2}=2\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)=2\pi+\frac{3\pi}{2}{\small.}\)
Таким образом, для \(\displaystyle \frac{7\pi}{2}\) радиан получаем:
\(\displaystyle \frac{7\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}+2\pi{\small.}\)
Изначально был угол \(\displaystyle -\frac{7\pi}{2}{\small,}\) поэтому добавим знак "минус" к обеим частям:
\(\displaystyle -\frac{7\pi}{2}=-\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi\right)=-\frac{3\pi}{2}-2\pi{\small.}\)
Угол \(\displaystyle -\frac{3\pi}{2}\) не попадает в отрезок от \(\displaystyle 0\) до \(\displaystyle 2\pi{\small.}\) Поэтому прибавим и вычтем \(\displaystyle 2\pi{\small.}\) В результате получим:
\(\displaystyle -\frac{3\pi}{2}-2\pi=-\frac{3\pi}{2}\color{red}{+2\pi-2\pi}-2\pi=\left(-\frac{3\pi}{2}+2\pi\right)-2\cdot 2\pi=\frac{\pi}{2}-2\cdot2\pi{\small.}\)
Число \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) уже попадает в отрезок от \(\displaystyle 0\) до \(\displaystyle 2\pi{\small.}\) Получили требуемую запись:
\(\displaystyle -\frac{7\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(-2){\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{7\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi\cdot(-2){\small.}\)