Дана геометрическая прогрессия: \(\displaystyle b_1{ \small ,}\, b_2{ \small ,}\, b_3{ \small ,}\, b_4{ \small ,}\, …\)
Какой член прогрессии должен стоять справа, чтобы выполнялось верное равенство?
Запишем \(\displaystyle b_{16} \) и \(\displaystyle b_{18} \) через \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{\small .} \) Тогда
\(\displaystyle b_{16} = b_1\cdot q^{15}\) и \(\displaystyle b_{18} = b_1\cdot q^{17}{\small .}\)
Перемножая эти равенства, получаем:
\(\displaystyle b_{16}\cdot b_{18} = (b_1\cdot q^{15})\cdot (b_1\cdot q^{17})=b_1\cdot q^{15}\cdot b_1\cdot q^{17}=b_1^2\cdot q^{32}{\small .}\)
Перепишем полученное произведение в виде квадрата:
\(\displaystyle b_1^2\cdot q^{32}=(b_1\cdot q^{16})^2{\small .}\)
По формуле для n-го члена
\(\displaystyle b_1\cdot q^{16}=b_{17}{\small .} \)
Значит,
\(\displaystyle b_{16}\cdot b_{18}=b_{17}^2{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle b_{16}\cdot b_{18}=b_{17}^2{\small .} \)