Вставьте между числами \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 9\) отрицательное число \(\displaystyle x\) так, чтобы образовалась геометрическая прогрессия из трех членов.
Числа \(\displaystyle 1{ \small ,}\,x\) и \(\displaystyle 9\) должны образовывать геометрическую прогрессию.
Значит, можно считать, что
\(\displaystyle b_1 = 1{ \small ,}\) \(\displaystyle b_3 = 9{ \small ,}\) а найти требуется \(\displaystyle b_2{\small .}\)
При этом, поскольку по условию задачи \(\displaystyle x \) отрицательно, то считаем \(\displaystyle b_2<0{\small .} \)
Сперва найдем знаменатель прогрессии \(\displaystyle q{\small .}\)
Так как
\(\displaystyle b_3 = b_1 \cdot q^2{ \small ,}\)
то
\(\displaystyle q^2 = \frac{ b_3}{b_1 }{ \small ,}\)
\(\displaystyle q^2 = \frac{ 9}{ 1 }{ \small ,}\)
\(\displaystyle q^2 = 9{ \small ,}\)
\(\displaystyle q = 3\) или \(\displaystyle q = -3{\small .}\)
Теперь, зная \(\displaystyle q{ \small ,}\) найдем \(\displaystyle b_2{\small .}\) Возможны два случая.
При \(\displaystyle q=3 \) получаем:
\(\displaystyle b_2 = b_1 \cdot q{ \small ,}\)
\(\displaystyle b_2 = 1 \cdot 3{ \small ,}\)
\(\displaystyle b_2 = 3{\small .}\)
При \(\displaystyle q=-3 \) получаем:
\(\displaystyle b_2 = b_1 \cdot q{ \small ,}\)
\(\displaystyle b_2 = 1 \cdot (-3){ \small ,}\)
\(\displaystyle b_2 = -3{\small .}\)
Получили два варианта для \(\displaystyle b_2{\small : } \)
\(\displaystyle b_2 = 3\) или \(\displaystyle b_2 = -3{\small .}\)
Тогда, так как \(\displaystyle b_2<0{ \small ,} \) то \(\displaystyle b_2=-3{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle -3{\small .}\)