Моторлы қайық өзен ағысына қарсы \(\displaystyle 288\) км жүріп өтіп, жөнелту пунктіне қайтып оралды, қайту жолына ағысқа қарсы жолға қарағанда \(\displaystyle 3\) сағатқа аз уақыт жұмсалды. Өзеннің жылдамдығы \(\displaystyle 4\) км/сағ болса, қайықтың қозғалыссыз судағы жылдамдығын табыңыз. Жауабын км/сағ беріңіз.
Жүріп өткен қашықтық пен өзен ағысының жылдамдығы белгілі.
\(\displaystyle x\)км/сағ – қайықтың қозғалыссыз судағы жылдамдығы болсын.
Сонда қайық ағысқа қарсы \(\displaystyle (x-4)\)км/сағ жылдамдықпен, ал ағынмен \(\displaystyle (x+4)\)км/сағ жылдамдықпен жүзеді.
Есептеулерге ыңғайлы болу үшін кестеге жылдамдық пен қашықтық туралы деректерді енгізіп, уақытты табамыз:
| Жол | \(\displaystyle v\) | \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle t=\frac {S}{v}\) |
| ағысқа қарсы | \(\displaystyle x-4\) | \(\displaystyle 288\) | \(\displaystyle \color{green}{ \frac {288}{x-4}}\) |
| ағыспен | \(\displaystyle x+4\) | \(\displaystyle 288\) | \(\displaystyle \color{blue}{\frac {288}{x+4}}\) |
Ағысқа қарсы қозғалысқа қарағанда ағынмен жүруге \(\displaystyle 3\)сағат аз уақыт кеткені белгілі.
Теңдеу құрайық:
\(\displaystyle \color{green}{ \frac {288}{x-4}}-\color{blue}{\frac {288}{x+4}}=3{\small .}\)
Алынған теңдеуді шешейік:
\(\displaystyle \frac {288}{x-4}-\frac {288}{x+4}-3=0{\small .}\)
Ортақ бөлгішке келтірейік:
\(\displaystyle \frac{288(x+4)-288(x-4)-3(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+4)}=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{288x+288 \cdot4-288x+288 \cdot4-3(x^2-16)}{(x-4)(x+4)}=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{288 \cdot8-3x^2+48}{(x-4)(x+4)}=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{-3x^2+2352}{(x-4)(x+4)}=0{ \small .}\)
\(\displaystyle (x-4)\) және \(\displaystyle (x+4)\) – бұл қайықтың ағысқа қарсы және ағынмен жүру жылдамдығы екенін ескереміз, сондықтан \(\displaystyle x-4>0\) және \(\displaystyle x+4>0{ \small .}\)
Демек, теңдеуге көше аламыз:
\(\displaystyle -3x^2+2352=0{ \small .}\)
Алынған теңдеуді шешейік:
\(\displaystyle -3x^2=-2352 \,\,\bigg| \red{: (-3)}\)
\(\displaystyle x^2=784{\small ,}\)
осы жерден
\(\displaystyle x_1=28\) және \(\displaystyle x_2=-28{\small .}\)
Жылдамдық теріс болуы мүмкін емес болғандықтан, онда \(\displaystyle x=28{\small .}\)
\(\displaystyle x-4>0\) және \(\displaystyle x+4>0{ \small }\) шектеулерін бұл мән де қанағаттандырады.
Осылайша, қайықтың қозғалыссыз судағы жылдамдығы \(\displaystyle 28\)км/сағ тең.
Жауабы: \(\displaystyle 28{\small .}\)