Моторная лодка прошла против течения реки \(\displaystyle 288\) км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на \(\displaystyle 3\) часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна \(\displaystyle 4\) км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Пройденное расстояние и скорость течения реки известны.
Пусть \(\displaystyle x\)км/ч – скорость лодки в неподвижной воде.
Тогда лодка идёт против течения со скоростью \(\displaystyle (x-4)\)км/ч, а по течению – со скоростью \(\displaystyle (x+4)\)км/ч.
Для удобства расчётов внесём данные о скорости и расстоянии в таблицу и найдем время:
| Путь | \(\displaystyle v\) | \(\displaystyle S\) | \(\displaystyle t=\frac {S}{v}\) |
| против течения | \(\displaystyle x-4\) | \(\displaystyle 288\) | \(\displaystyle \color{green}{ \frac {288}{x-4}}\) |
| по течению | \(\displaystyle x+4\) | \(\displaystyle 288\) | \(\displaystyle \color{blue}{\frac {288}{x+4}}\) |
Известно, что на движение по течению потребовалось на \(\displaystyle 3\)часа меньше времени, чем на движение против течения.
Составим уравнение:
\(\displaystyle \color{green}{ \frac {288}{x-4}}-\color{blue}{\frac {288}{x+4}}=3{\small .}\)
Решим полученное уравнение:
\(\displaystyle \frac {288}{x-4}-\frac {288}{x+4}-3=0{\small .}\)
Приведем к общему знаменателю:
\(\displaystyle \frac{288(x+4)-288(x-4)-3(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+4)}=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{288x+288 \cdot4-288x+288 \cdot4-3(x^2-16)}{(x-4)(x+4)}=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{288 \cdot8-3x^2+48}{(x-4)(x+4)}=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{-3x^2+2352}{(x-4)(x+4)}=0{ \small .}\)
Заметим, что \(\displaystyle (x-4)\) и \(\displaystyle (x+4)\)– это скорости лодки против течения и по течению, поэтому \(\displaystyle x-4>0\) и \(\displaystyle x+4>0{ \small .}\)
Значит, можем перейти к уравнению:
\(\displaystyle -3x^2+2352=0{ \small .}\)
Решим полученное уравнение:
\(\displaystyle -3x^2=-2352 \,\,\bigg| \red{: (-3)}\)
\(\displaystyle x^2=784{\small ,}\)
откуда
\(\displaystyle x_1=28\) и \(\displaystyle x_2=-28{\small .}\)
Так как скорость не может быть отрицательна, то \(\displaystyle x=28{\small .}\)
Ограничениям \(\displaystyle x-4>0\) и \(\displaystyle x+4>0{ \small }\) это значение тоже удовлетворяет.
Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде равна \(\displaystyle 28\)км/ч.
Ответ: \(\displaystyle 28{\small .}\)