Сравните числа:
\(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{8}\) \(\displaystyle \sqrt{7}+\sqrt{5}\)
Сравнение положительных иррациональных чисел
Для положительных числе \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) верно, что
\(\displaystyle a<b\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)
Сравним:
\(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{8} \,\, \color{red}{ ?}\,\, \sqrt{7}+\sqrt{5}{\small .}\)
Возведем левую и правую части в квадрат:
\(\displaystyle \begin{aligned} (\sqrt{3}+\sqrt{8})^2\,\, &\color{red}{ ?}\,\, (\sqrt{7}+\sqrt{5})^2{\small ; }\\ 3+2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{8}+8\,\, &\color{red}{ ?}\,\, 7+2\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{5}+5{\small ; }\\ 11+2\sqrt{24} \,\, &\color{red}{ ?}\,\, 12+2\sqrt{35}{\small . } \end{aligned}\)
Вычтем \(\displaystyle 11\) (минимальное из чисел \(\displaystyle 11\) и \(\displaystyle 12\)) из обеих частей неравенства:
\(\displaystyle \begin{aligned} 11+2\sqrt{24} -\color{green}{11}\,\, &\color{red}{ ?}\,\, 12+2\sqrt{35}-\color{green}{11}{\small ; }\\ 2\sqrt{24} \,\, &\color{red}{ ?}\,\, 1+2\sqrt{35}{\small . } \end{aligned}\)
Снова возведем обе части неравенства в квадрат:
\(\displaystyle \begin{aligned} (2\sqrt{24} )^2\,\, &\color{red}{ ?}\,\, (1+2\sqrt{35})^2{\small ; }\\ 4\cdot 24\,\, &\color{red}{ ?}\,\, 1+4\sqrt{35}+4\cdot 35{\small ; }\\ 96\,\, &\color{red}{ ?}\,\, 141+4\sqrt{35}{\small . } \end{aligned}\)
Перенесем все целые числа в одну сторону неравенства, а иррациональные в другую:
\(\displaystyle \begin{aligned} 96-144\,\, &\color{red}{ ?}\,\, 4\sqrt{35}{\small ; }\\ -48\,\, &\color{red}{ ?}\,\, 4\sqrt{35}{\small . } \end{aligned}\)
Так как
\(\displaystyle -48\, <\, 4\sqrt{35}\)
(отрицательное число меньше положительного),
то
\(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{8}\, \color{red}{ <}\, \sqrt{7}+\sqrt{5}{\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{8}\, <\, \sqrt{7}+\sqrt{5}{\small . }\)