Сравните числа:
\(\displaystyle \sqrt{15}-\sqrt{8}\)\(\displaystyle 3\)
Сравним два положительных числа \(\displaystyle \sqrt{15}-\sqrt{8}\) (так как \(\displaystyle \sqrt{15}>\sqrt{8}\)) и \(\displaystyle 3{\small . }\) Запишем возможное для них неравенство в виде
\(\displaystyle \sqrt{ 15}-\sqrt{ 8} \color{green}{ \vee} 3{\small , } \)
где \(\displaystyle \color{green}{ \vee} \) обозначает некоторый знак неравенства (который надо найти).
Избавимся от корней в неравенстве, возведя обе его части в квадрат. Так как при возведении неотрицательных чисел в квадрат знак неравенства сохраняется, то получаем:
\(\displaystyle (\sqrt{ 15}-\sqrt{ 8})^2 \color{green}{ \vee} 3^2{\small , } \)
\(\displaystyle (\sqrt{ 15}\,)^2-2\cdot \sqrt{ 15} \cdot \sqrt{ 8}+(\sqrt{ 8}\,)^2 \color{green}{ \vee} 9{\small , } \)
\(\displaystyle 15-2\cdot \sqrt{ 15} \cdot \sqrt{ 8}+8 \color{green}{ \vee} 9{\small .} \)
Перенесем выражение с корнем в правую часть, а все натуральные числа соберем в левой части:
\(\displaystyle 15+8-9 \color{green}{ \vee}2\cdot \sqrt{ 15} \cdot \sqrt{ 8}{\small ,} \)
\(\displaystyle 14 \color{green}{ \vee}2\cdot \sqrt{ 15} \cdot \sqrt{ 8}{\small .} \)
Сравним два положительных числа \(\displaystyle 14 \) и \(\displaystyle 2\cdot \sqrt{ 15} \cdot \sqrt{ 8}{\small :} \)
\(\displaystyle 14 \color{green}{ \vee}2\cdot \sqrt{ 15} \cdot \sqrt{ 8}{\small .} \)
Возведем обе части неравенства в квадрат (при этом знак неравенства сохраняется прежним):
\(\displaystyle 14^2 \color{green}{ \vee} (2\cdot \sqrt{ 15} \cdot \sqrt{ 8})^2{\small ,} \)
\(\displaystyle 196 \color{green}{ \vee}4\cdot 15 \cdot 8 {\small ,} \)
\(\displaystyle 196 \color{green}{ <}480 {\small .} \)
\(\displaystyle 14 \color{green}{ <}2\cdot \sqrt{ 15} \cdot \sqrt{ 8}{\small .} \)
Таким образом, искомый знак неравенства \(\displaystyle \color{green}{ \vee}\) – это \(\displaystyle \color{green}{ <} {\small .}\) Следовательно,
\(\displaystyle \sqrt{ 15}-\sqrt{ 8} \color{green}{ <} 3{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{ 15}-\sqrt{ 8} \color{green}{ <} 3{\small .} \)