Найдите показатель степени для любого ненулевого числа \(\displaystyle b:\)
| \(\displaystyle \left(\left(\frac{a^{\,2}}{b^{\,3}}\right)^{4}\right)^{5}=\) | \(\displaystyle a\) | |
| \(\displaystyle b\) |
Сначала дважды применим правило возведения дроби в степень:
\(\displaystyle \left(\left( \frac{a^{\,\color{blue}{2} } }{b^{\,\color{green}{3} } }\right)^{\color{purple}{4}} \right)^{\color{red}{5}}=\Biggl( \frac{\left(a^{\,\color{blue}{2}}\right)^{\color{purple}{4}}}{\left(b^{\,\color{green}{3}}\right)^{\color{purple}{4}}}\Biggr)^{\color{red}{5}}=\frac{ \left(\left( a^{\,\color{blue}{2}}\right)^{\color{purple}{4}}\right)^{\color{red}{5}}}{\left(\left(b^{\,\color{green}{3}}\right)^{\color{purple}{4}}\right)^{\color{red}{5}}}.\)
Далее воспользуемся правилом возведения степени в степень:
\(\displaystyle \frac{ \left(\left( a^{\,\color{blue}{2}}\right)^{\color{purple}{4}}\right)^{\color{red}{5}}}{\left(\left(b^{\,\color{green}{3}}\right)^{\color{purple}{4}}\right)^{\color{red}{5}}}= \frac{\left( a^{\,\color{blue}{2} \cdot \color{purple}{4}}\right)^{\color{red}{5}}}{\left(b^{\,\color{green}{3} \cdot \color{purple}{4}}\right)^{\color{red}{5}}}= \frac{\left( a^{\,\bf 8}\right)^{\color{red}{5}}}{\left(b^{\,\bf 12}\right)^{\color{red}{5}}}.\)
И еще раз используем правило возведения степени в степень:
\(\displaystyle \frac{\left( a^{\,\bf 8}\right)^{\color{red}{5}}}{\left(b^{\,\bf 12}\right)^{\color{red}{5}}}=\frac{a^{\,8 \cdot \color{red}{5}}}{b^{\, 12\cdot \color{red}{5}}}=\frac{a^{\,40}}{b^{\,60}}.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{a^{\,40}}{b^{\,60}}.\)