Сократите дробь:
| \(\displaystyle \frac{5^{17}\cdot 7^{12} \cdot 5^{13} \cdot 7^{50}}{7^{19}\cdot 5^{18}\cdot 7^{39}\cdot 5^{14} }=\) | ||
Для того чтобы преобразовать данное выражение, сначала воспользуемся правилом произведения степеней – как в числителе, так и в знаменателе.
Произведение степеней
Пусть \(\displaystyle a\) – число, \(\displaystyle n,\,m\) – натуральные числа, тогда
\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}.\)
Менее формально, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.
\(\displaystyle \frac{\color{green}{5^{17}}\cdot \color{blue}{7^{12}}\cdot \color{green}{5^{13}}\cdot \color{blue}{7^{50}}} {\color{blue}{7^{19}}\cdot \color{green}{5^{18}}\cdot \color{blue}{7^{39}}\cdot \color{green}{5^{14}}}=\frac{\color{green}{5^{17+13}}\cdot \color{blue}{7^{12+50}}}{\color{green}{5^{18+14}} \cdot \color{blue}{7^{19+39}}}=\frac{\color{green}{5^{30}}\cdot \color{blue}{7^{62}}} {\color{green}{5^{32}}\cdot \color{blue}{7^{58}}}.\)
Далее применим правило частного степеней к полученной дроби.
Частное степеней
Пусть \(\displaystyle a\) – ненулевое число, \(\displaystyle n,\,m\) – натуральные числа, причем \(\displaystyle n\ge m\), тогда
\(\displaystyle {\bf \frac{a^{\,n}}{a^{\,m}}}= a^{\,n}:a^{\,m}=a^{\,n\,-\,m}.\)
Менее формально, при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются.
Упростим нашу дробь, сократив на \(\displaystyle 5^{\small{(\textit{в наименьшей степени})}}=5^{30}\) (выбирая из \(\displaystyle 5^{30}\) и \(\displaystyle 5^{32}\)) и \(\displaystyle 7^{\small{(\textit{в наименьшей степени})}}=7^{58}\) (выбирая из \(\displaystyle 7^{62}\) и \(\displaystyle 7^{58}\)). Получаем:
\(\displaystyle \frac{\color{green}{5^{30}}\cdot \color{blue}{7^{62}}} {\color{green}{5^{32}}\cdot \color{blue}{7^{58}}}=\frac{\left(\color{green}{5^{30}}\cdot \color{blue}{7^{62}}\right):\color{green}{5^{30}}:\color{blue}{7^{58}} } {\left(\color{green}{5^{32}}\cdot \color{blue}{7^{58}}\right):\color{green}{5^{30}}:\color{blue}{7^{58}}}=\frac{\color{green}{5^{30-30}}\cdot \color{blue}{7^{62-58}}} {\color{green}{5^{32-30}}\cdot \color{blue}{7^{58-58}}}=\frac{\color{green}{5^0}\cdot \color{blue}{7^4}} {\color{green}{5^2}\cdot \color{blue}{7^0}}=\frac{ \color{blue}{7^4}} {\color{green}{5^2}}.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{7^4}{5^2}.\)