Тіктөртбұрыштың периметрі \(\displaystyle 34\), ауданы \(\displaystyle 60\)-ға тең. Осы төртбұрыштың диагоналін табыңыз.
Алдымен тіктөртбұрыштың қабырғаларын табыңыз.
Тіктөртбұрыштың кіші қабырғасы \(\displaystyle AB=x\) – және тіктөртбұрыштың үлкен қабырғасы \(\displaystyle AD=y\) – болсын.
Тік төртбұрыштың периметрі \(\displaystyle P=2(AB+AD)\) тең. \(\displaystyle P=34\) белгілі
Демек,
\(\displaystyle \color{green}{2(x+y)=34}.\)
Үшбұрыштың ауданы \(\displaystyle S=AB\cdot AD\) тең. \(\displaystyle S=60\) белгілі
Демек,
\(\displaystyle \color{blue}{x\cdot y=60}.\)
Біз теңдеулер жүйесін аламыз
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{green}{2(x+y)=34}{ \small ,}\\\color{blue}{x\cdot y=60} {\small .}\end{aligned}\right. \)
Бірінші \(\displaystyle y\) теңдеуінен \(\displaystyle x\) дейінгі өрнек:
\(\displaystyle 2(x+y)=34 \, | :\color{red}{2},\)
\(\displaystyle x+y=17,\)
\(\displaystyle y=17-x.\)
Алынған өрнекті екінші теңдеуге ауыстырыңыз:
\(\displaystyle x\cdot (17-x)=60,\)
\(\displaystyle 17x-x^2=60,\)
\(\displaystyle 17x-x^2-60=0,\)
\(\displaystyle x^2-17x+60=0.\)
Квадрат теңдеуді шешейік.
Егер \(\displaystyle x=5,\) болса\(\displaystyle y=17-x=12.\)
Егер \(\displaystyle x=12,\) болса\(\displaystyle y=17-x=5.\)
\(\displaystyle x\) – тіктөртбұрыштың кіші қабырғасы болғандықтан \(\displaystyle x=5,\) \(\displaystyle y=12.\)
\(\displaystyle AB=5\) және \(\displaystyle AD=12.\)
Тіктөртбұрыштың диагоналін \(\displaystyle AC\) табу үшін үшбұрышты \(\displaystyle ABC \small{}\) қарастырайық
Өйткені \(\displaystyle \angle ABC = 90^{\circ},\) онда \(\displaystyle ABC\) – гипотенузасы \(\displaystyle AC\) бар тікбұрышты үшбұрыш болады
Пифагор теоремасы бойынша , \(\displaystyle AC^2=AB^2 + BC^2.\)
Демек,
\(\displaystyle AC^2=5^2 + 12^2=25+144=169.\)
Кесіндінің ұзындығы оң болғандықтан, онда \(\displaystyle AC=\sqrt {169} =13.\)
Жауабы: \(\displaystyle 13{\small .}\)