Үшбұрышта \(\displaystyle ABC\)
\(\displaystyle \frac{BC}{\sin \angle A}=\frac{CA}{\sin \angle B}=\frac{AB}{\sin \angle C}=2R \small.\)
Дәлелдеу.
Дәлелдеп көрейік
\(\displaystyle \frac{AС}{\sin B}=2R.\)
Егер \(\displaystyle B\) бұрыш тік бұрыш болса, онда \(\displaystyle {\sin B}=1,\) \(\displaystyle {CA}\) диаметр, ал теңдік орындалады.
Егер бұрыш \(\displaystyle B\) түзу болмаса, диаметр \(\displaystyle AD\) және хорда \(\displaystyle DC\) сызыңыз.
\(\displaystyle B\) бұрышын сүйір деп алайық.
Іштей сызылған бұрыштар \(\displaystyle ABC\) және \(\displaystyle ADC\) бірдей доғаға негізделген, бұл олардың тең екендігін білдіреді. Содан кейін
\(\displaystyle \sin D=\sin B.\)
Диаметріне негізделген сызылған бұрыш тікбұрышты үшбұрыш болғандықтан, үшбұрыш \(\displaystyle ADC\) тік бұрышты болады.
Тікбұрышты үшбұрышта \(\displaystyle ADC\)
\(\displaystyle \sin D=\frac{AC}{AD}.\)
Содан кейін
\(\displaystyle \sin B=\frac{AC}{2R},\)
\(\displaystyle \frac{AС}{\sin B}=2R.\)
\(\displaystyle B\) бұрышы доғал болған жағдайды қарастырайық.
Шеңберге төртбұрыш \(\displaystyle ABCD\) сызылған.
Ішіне сызылған төртбұрыштың қасиеті бойынша,
\(\displaystyle \angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}.\)
Содан кейін
\(\displaystyle \angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC.\)
Елес формуласы бойынша,
\(\displaystyle \sin D=\sin (\angle ADC)=\sin (180^{\circ}-\angle ABC)=\sin (\angle ABC)=\sin B.\)
Диаметріне негізделген сызылған бұрыш тікбұрышты үшбұрыш болғандықтан, үшбұрыш \(\displaystyle ADC\) тік бұрышты болады.
Тікбұрышты үшбұрышта \(\displaystyle ADC\)
\(\displaystyle \sin D=\frac{AC}{AD}.\)
Содан кейін
\(\displaystyle \sin B=\frac{AC}{2R},\)
\(\displaystyle \frac{AС}{\sin B}=2R.\)
Басқа екі қатынас
\(\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=2R\) және \(\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=2R\)
ұқсас жолмен дәлелденген.