Одна сторона прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, равна \(\displaystyle \sqrt{2}{\small . }\) Радиус описанной окружности равен \(\displaystyle 1{\small . }\) Найдите острый угол, противолежащий данной стороне (ответ дайте в градусах).
Описанная окружность и прямоугольный треугольник
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а её радиус равен половине гипотенузы. |  |
 | Так как радиус описанной окружности равен \(\displaystyle R=1{\small , }\) то гипотенуза прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle c=2\cdot 1=2{\small .}\) По определению синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Пусть напротив стороны длиной \(\displaystyle \sqrt{2}\) лежит угол \(\displaystyle \alpha \small.\) Тогда \(\displaystyle \sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small .}\) |
Так как в прямоугольном треугольнике углы острые (кроме прямого угла) и, согласно таблице значений синуса, \(\displaystyle \sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small , }\) то получаем, что
\(\displaystyle \alpha=45^{\circ}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 45{\small .}\)