Угол \(\displaystyle ACB\) равен \(\displaystyle 34^\circ \small,\) его сторона \(\displaystyle CA\) касается окружности в точке \(\displaystyle A \small.\) Угол \(\displaystyle ABC\) равен \(\displaystyle 32^\circ \small.\) Найдите угол \(\displaystyle BAE \) (см. рис.). Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол \(\displaystyle ABE\) опирается на дугу \(\displaystyle AE \small.\)
Поскольку вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, то
\(\displaystyle \angle ABE=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AE} \small.\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{1}{2} \overset{\smile}{AE}=\angle ABE=\angle ABC=32^{\circ} \small,\)
\(\displaystyle \overset{\smile}{AE}=64^{\circ} \small.\)
По теореме об угле между касательной и секущей
Угол между касательной и секущей
Угол между касательной и секущей, проведёнными из одной точки, лежащей вне окружности, равен полуразности дуг, заключённых между ними.
получаем:
\(\displaystyle \angle ACB=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AB}-\frac{1}{2} \overset{\smile}{AE} \small.\)
Значит,
\(\displaystyle \frac{1}{2} \overset{\smile}{AB}=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AE}+\angle ACB=32^{\circ}+34^{\circ}=66^{\circ} \small,\)
\(\displaystyle \overset{\smile}{AB}=132^{\circ} \small.\)
Дуги \(\displaystyle \overset{\smile}{AB} \small,\) \(\displaystyle \overset{\smile}{AE}\) и \(\displaystyle \overset{\smile}{BE}\) в сумме дают всю окружность, значит
\(\displaystyle \overset{\smile}{BE}=360^{\circ}-\overset{\smile}{AE}-\overset{\smile}{AB}=360^{\circ}-64^{\circ}-132^{\circ}=164^{\circ} \small.\)
Вписанный угол \(\displaystyle BAE\) опирается на дугу \(\displaystyle \color{red}{BE} \small.\)
Поскольку вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, то
\(\displaystyle \angle BAE=\frac{1}{2} \overset{\smile}{BE}=82^{\circ} \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 82 {\small .}\)