Угол \(\displaystyle ACO\) равен \(\displaystyle 21^\circ {\small .}\) Его сторона \(\displaystyle CA\) касается окружности с центром в точке \(\displaystyle O {\small ,}\) а сторона \(\displaystyle CO\) пересекает окружность в точках \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle D\) (см. рисунок). Найдите градусную меру дуги \(\displaystyle AD\) окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
По свойству касательной к окружности
Свойство касательной к окружности
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
получаем:
\(\displaystyle \angle CAO=90^{\circ}{\small .} \)
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle CAO {\small .}\)
Так как сумма углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small ,}\) то
\(\displaystyle \angle AOC=180^{\circ}-\angle CAO-\angle ACO=180^{\circ}-90^{\circ}-21^{\circ}=69^{\circ} {\small .}\)
Углы \(\displaystyle AOC\) и \(\displaystyle AOD\) смежные. Так как сумма смежных углов равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small ,}\) то
\(\displaystyle \angle AOD=180^{\circ}-\angle AOC=180^{\circ}-69^{\circ}=111^{\circ} {\small .}\)
Поскольку дуга \(\displaystyle AD\) меньше полуокружности, то по определению градусной меры дуги окружности
Градусная мера дуги окружности
Градусная мера полуокружности равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small .}\)
Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности меньше полуокружности, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла \(\displaystyle AOB{\small .}\)
Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности больше полуокружности, то ее градусная мера равна \(\displaystyle 360^{\circ}-\angle AOB{\small .}\)
получаем:
\(\displaystyle {{\overset{\smile}{AD}}=\angle AOD}=111^{\circ}{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 111 {\small .}\)