Вычислите значение одночлена \(\displaystyle 64y^{\,3}\cdot x^{\,2}\cdot z\cdot y\cdot z^{\,2}\cdot 27x\) при \(\displaystyle x= \frac{1}{8}, \, y= \frac{2}{3}, \, z=-\frac{2}{3}{\small :}\)
Для упрощения вычислений приведем одночлен \(\displaystyle 64y^{\,3}\cdot x^{\,2}\cdot z\cdot y\cdot z^{\,2}\cdot 27x\) к стандартному виду:
\(\displaystyle \begin{aligned} 64y^{\,3}\cdot x^{\,2}\cdot z\cdot y\cdot z^{\,2}\cdot 27x&=(64\cdot 27)\cdot (x^{\,2}\cdot x\,)\cdot (\,y^{\,3}\cdot y\,)\cdot (z\cdot z^{\,2})=\\ &=1728\cdot x^{\,2+1}\cdot y^{\,3+1}\cdot z^{\,1+2}=1728x^{\,3}y^{\,4}z^{\,3} {\small .}\end{aligned}\)
Вычислим теперь значение одночлена \(\displaystyle 1728x^{\,3}y^{\,4}z^{\,3}\) при \(\displaystyle x= \color{blue}{\frac{1}{8}}, \, y= \color{green}{\frac{2}{3}}, \, z=\color{red}{-\frac{2}{3}}{\small :}\)
\(\displaystyle 1728\color{blue}{x}^{\,3}\color{green}{y}^{\,4}\color{red}{z}^{\,3} \rightarrow 1728\cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{8}}\right)^3\cdot \left(\color{green}{\frac{2}{3}}\right)^4\cdot \left(\color{red}{- \frac{2}{3}}\right)^3= 1728\cdot \color{blue}{\frac{1^3}{8^3}}\cdot \color{green}{\frac{2^4}{3^4}}\cdot \left(\color{red}{- \frac{2^3}{3^3}}\right) {\small .}\)
Вынесем минус внутри скобок вперед и разложим \(\displaystyle 1728\) на простые множители:
\(\displaystyle \begin{aligned} 1728\cdot \frac{1^3}{8^3}\cdot \frac{2^4}{3^4}\cdot \left(- \frac{2^3}{3^3}\right)&= {\bf -}1728 \cdot \frac{1^3}{8^3}\cdot \frac{2^4}{3^4}\cdot \frac{2^3}{3^3}= - \frac{\color{blue}{1728}\cdot 1^3\cdot 2^4\cdot 2^3}{8^3\cdot 3^4\cdot 3^3}=\\[10px] &=- \frac{\color{blue}{2^6\cdot 3^3}\cdot 1^3\cdot 2^4\cdot 2^3}{(2^3)^3\cdot 3^4\cdot 3^3}= - \frac{2^{6+4+3}\cdot 3^3\cdot 1}{2^9\cdot 3^{4+3}}= - \frac{2^{13}\cdot 3^3}{2^9\cdot 3^7}= - \frac{2^{4}}{3^4}= - \frac{16}{81} {\small .}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle - \frac{16}{81}{\small .}\)