Найдите частное и сократите дробь:
Деление многочлена на дробь
Чтобы разделить многочлен на рациональную дробь, надо этот многочлен умножить на обратную дробь.
То есть для многочлена \(\displaystyle {f}\) и дроби \(\displaystyle \color{red}{\frac{a}{b}}\) верно
\(\displaystyle {f}: \color{red}{\frac{a}{b}}={f}\cdot\color{red}{\frac{ b}{a}}{\small .}\)
В соответствии с описанным выше правилом:
\(\displaystyle (x+2)^4:\color{red}{\frac{x^2+4x+4}{x+3}}=(x+2)^4\cdot\color{red}{\frac{x+3}{x^2+4x+4}}\small.\)
Умножая многочлен на дробь, получаем:
\(\displaystyle (x+2)^4\cdot{\frac{x+3}{x^2+4x+4}}={\frac{(x+2)^4\cdot(x+3)}{x^2+4x+4}}{\small .}\)
Чтобы сократить дробь, разложим выражение \(\displaystyle x^2+4x+4\) на множители:
\(\displaystyle x^2+4x+4=(x+2)^2\small.\)
Подставляя, получим:
\(\displaystyle {\frac{(x+2)^4\cdot(x+3)}{\color{blue}{x^2+4x+4}}}=\frac{(x+2)^4\cdot(x+3)}{\color{blue}{(x+2)^2}}\small.\)
Сократим дробь:
\(\displaystyle \frac{\color{blue}{(x+2)^{{4}}}\cdot(x+3)}{{\color{blue}{(x+2)^2}}}={\color{blue}{(x+2)^{{4-2}}}\cdot(x+3)}=(x+2)^2(x+3)\small.\)
Ответ: \(\displaystyle (x+2)^2(x+3){\small .}\)