Если для чисел \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) верно, что
\(\displaystyle a<b{\small ,}\)
то для положительного числа \(\displaystyle \color{green}{c}\)
\(\displaystyle a\cdot \color{green}{c}<b \cdot \color{green}{c}{\small .}\)
Так как \(\displaystyle a<b{\small ,}\) то по определению \(\displaystyle b-a>0{\small .}\)
Для того чтобы сравнить числа \(\displaystyle a\cdot \color{green}{c}\) и \(\displaystyle b \cdot \color{green}{c}{\small , }\) необходимо сравнить разность \(\displaystyle b \cdot \color{green}{c}-a\cdot \color{green}{c}\) с нулем.
Вынесем положительное число \(\displaystyle \color{green}{c}\) за скобки:
\(\displaystyle b \cdot \color{green}{c}-a\cdot \color{green}{c}=(b-a\,) \cdot \color{green}{c}{\small .}\)
Так как \(\displaystyle \color{green}{c}\) и \(\displaystyle (b-a\,)\) – положительные числа по условию, то их произведение тоже число положительное, то есть
\(\displaystyle b \cdot \color{green}{c}-a\cdot \color{green}{c}=(b-a\,)\cdot \color{green}{c}>0{\small .}\)
Следовательно,
\(\displaystyle b \cdot \color{green}{c}-a\cdot \color{green}{c}>0\) и \(\displaystyle a\cdot \color{green}{c}<b \cdot \color{green}{c}{\small .}\)