Уравнение \(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}\cos(2x)+3\cos(x)=2\sqrt{3}\) равносильно двум уравнениям:
\(\displaystyle \cos(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3} }{2}{\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \cos(x)=0\) имеет решения:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \) и \(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
Выберите корни уравнения \(\displaystyle \cos(x)=0\) из промежутка \(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]{\small.}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{5\pi}{2}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{7\pi}{2}\)
Выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_1 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle 2\pi\leqslant \frac{\pi}{2}+2\pi n\leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle 2\leqslant \frac{1}{2}+2n\le \frac{7}{2}{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small :}\)
\(\displaystyle 2- \frac{1}{2}\leqslant \frac{1}{2}+2n- \frac{1}{2}\leqslant \frac{7}{2}- \frac{1}{2}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{3}{2}\leqslant2n\leqslant 3{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle \frac{3}{4}\leqslant n \leqslant \frac{3}{2}{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle 1,\) то есть \(\displaystyle n=1{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=1\) в \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 1=\frac{5\pi}{2}{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_2 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle 2\pi\leqslant -\frac{\pi}{2}+2\pi n\leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle 2\leqslant -\frac{1}{2}+2n\le \frac{7}{2}{\small .}\)
Прибавим к каждой части \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small :}\)
\(\displaystyle 2+ \frac{1}{2}\leqslant -\frac{1}{2}+2n+ \frac{1}{2}\leqslant \frac{7}{2}+ \frac{1}{2}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{5}{2}\leqslant 2n \leqslant 4{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle \frac{5}{4}\leqslant n \leqslant 2{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle 2,\) то есть \(\displaystyle n=2{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=2\) в \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}+2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle -\frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 2=\frac{7\pi}{2}{\small .}\)
Таким образом, уравнение \(\displaystyle \cos(x)=0\) на отрезке \(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]\) имеет решения \(\displaystyle \frac{5\pi}{2}\) и \(\displaystyle \frac{7\pi}{2}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{5\pi}{2}\) и \(\displaystyle \frac{7\pi}{2}{\small .}\)