Уравнение \(\displaystyle 2\sin^2(x+\pi)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\) равносильно двум уравнениям:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}{\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) имеет решения:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\) и \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
Выберите корни уравнения \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) из промежутка \(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi \right]{\small.}\)
\(\displaystyle x_1=-\frac{11\pi}{6}{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=-\frac{7\pi}{6}{\small.}\)
Выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant x_1 \leqslant -\pi{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant \frac{\pi}{6}+2\pi n\leqslant -\pi{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle -\frac{5}{2}\leqslant \frac{1}{6}+2n\leqslant -1{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{1}{6}{\small :}\)
\(\displaystyle -\frac{5}{2}- \frac{1}{6}\leqslant 2n\leqslant -1-\frac{1}{6} {\small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{8}{3}\leqslant2n\leqslant -\frac{7}{6}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle -\frac{4}{3}\leqslant n \leqslant -\frac{7}{12}{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle -1,\) то есть \(\displaystyle n=-1{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=-1\) в \(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi \cdot (-1)=-\frac{11\pi}{6}{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant x_2 \leqslant -\pi{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant \frac{5\pi}{6}+2\pi n\leqslant -\pi{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle -\frac{5}{2}\leqslant \frac{5}{6}+2n\leqslant -1{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{5}{6}{\small :}\)
\(\displaystyle -\frac{5}{2}- \frac{5}{6}\leqslant 2n\leqslant -1-\frac{5}{6} {\small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{10}{3}\leqslant2n\leqslant -\frac{11}{6}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle -\frac{5}{3}\leqslant n \leqslant -\frac{11}{12}{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle -1,\) то есть \(\displaystyle n=-1{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=-1\) в \(\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2\pi \cdot (-1)=-\frac{7\pi}{6}{\small .}\)
Таким образом, уравнение \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]\) имеет два решения \(\displaystyle -\frac{11\pi}{6}\) и \(\displaystyle -\frac{7\pi}{6}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{11\pi}{6}\) и \(\displaystyle -\frac{7\pi}{6}{\small.}\)