На рисунке изображён график функции \(\displaystyle f(x)=\log _{5}(x+b){\small.}\) Найдите \(\displaystyle f(123){\small.}\)
\(\displaystyle f(123)=\)
Чтобы вычислить \(\displaystyle f(123){ \small ,}\) найдём сначала значение \(\displaystyle b{ \small .}\)
Заметим, что на графике функции \(\displaystyle f(x)=\log _{5}(x+b)\) отмечена точка с координатами \(\displaystyle (\color{blue}3;\color{blue}1){ \small .}\)
Значит, при подстановке её координат \(\displaystyle x=\color{blue}3\) и \(\displaystyle y=\color{blue}1\) в уравнение \(\displaystyle y=\log _{5} (x+b)\)
получим верное равенство.
Подставляя, получаем логарифмическое уравнение:
\(\displaystyle {\color{blue}1=\log _{5} (\color{blue}3+b)}{ \small .} \)
Решим его.
По определению, \(\displaystyle \log_c v=u\) равносильно \(\displaystyle v=c^u{\small .} \)
Поэтому уравнение
\(\displaystyle \log_5(3+b)=1\) равносильно \(\displaystyle 3+b=5^1{\small .} \)
\(\displaystyle 3+b=5{\small ,} \)
\(\displaystyle b={2}{\small .}\)
Таким образом, исходная функция имеет вид:
\(\displaystyle f(x)=\log _{5} (x+2){ \small .}\)
Тогда
\(\displaystyle f(123)=\log _{5} (123+2)=\log _{5} 125=3{ \small .}\)
Ответ: \(\displaystyle f(123)=3{\small .}\)