Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}\) при \(\displaystyle a =\sqrt{6}{\small .}\)
Решение 1.
Приведем данные выражения к общему знаменателю:
\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}-a^{\frac{3}{5}} \cdot a^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}{\small .}\)
Применим свойство умножения степеней \(\displaystyle a^x\cdot a^y=a^{x+y}{\small .}\)
Получим:
\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}-a^{\color{blue}{\frac{3}{5}}} \cdot a^{\color{blue}{\frac{3}{5}}}}{a^{\frac{3}{5}}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}-a^{\color{blue}{\frac{3}{5}+\frac{3}{5}}}}{a^{\frac{3}{5}}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}-a^{\color{blue}{\frac{6}{5}}}}{a^{\frac{3}{5}}}{\small .}\)
Приведем в числителе подобные слагаемые:
\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}+\, \cancel{a^{\frac{6}{5}}}-\, \cancel{a^{\frac{6}{5}}}}{a^{\frac{3}{5}}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}{\small .}\)
Применим свойство деления степеней \(\displaystyle a^x: a^y=a^{x-y}{.}\)
Получим:
\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}=9a^{\frac{13}{5}-\frac{3}{5}}=9a^2{\small .}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}-a^{\frac{6}{5}} }{a^{\frac{3}{5}}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}=9a^2 {\small .}\)
Подставим заданное в условии значение \(\displaystyle a =\sqrt{6}{\small .}\)
\(\displaystyle 9a^2=9(\sqrt{6})^2=9\cdot 6=54{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 54 {\small.} \)
Решение 2.
Разделим каждое слагаемое в числителе дроби на знаменатель \(\displaystyle a^{\frac{3}{5}}{:}\)
\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}+\frac{a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}{\small .}\)
Применим для обеих дробей свойство деления степеней \(\displaystyle a^x: a^y=a^{x-y}{.}\)
Получим:
\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}+\frac{a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}=9 a^{\frac{13}{5}-\frac{3}{5}}+a^{\frac{6}{5}-\frac{3}{5}}-a^{\frac{3}{5}}=9 a^2+a^{\frac{3}{5}}-a^{\frac{3}{5}}{\small .}\)
Приведем подобные слагаемые:
\(\displaystyle 9 a^2+ \, \cancel{a^{\frac{3}{5}}}-\, \cancel{a^{\frac{3}{5}}}=9 a^2{\small .}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \frac{9 a^{\frac{13}{5}}+a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}=\frac{9 a^{\frac{13}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}+\frac{a^{\frac{6}{5}}}{a^{\frac{3}{5}}}-a^{\frac{3}{5}}=9 a^2+a^{\frac{3}{5}}-a^{\frac{3}{5}}=9 a^2{\small .}\)
Подставим заданное в условии значение \(\displaystyle a =\sqrt{6}{\small .}\)
\(\displaystyle 9a^2=9(\sqrt{6})^2=9\cdot 6=54{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 54 {\small.} \)