Найдите куб суммы:
\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=\big(\)\(\displaystyle \big)^3\)
Первый способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}\) является полным кубом суммы.
Куб суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Сначала заметим, что \(\displaystyle 27z^{\,3}=3^3z^{\,3}=(3z\,)^3\) и \(\displaystyle 1000x^{\,3}=10^3x^{\,3}=(10x\,)^3.\) Далее распишем \(\displaystyle 270z^{\,2}x\) и \(\displaystyle 900z x^{\,2}\) как утроенные произведения так, чтобы один из множителей был в квадрате:
\(\displaystyle 270z^{\,2}x=3\cdot 9z^{\,2}\cdot 10x=3\cdot (3z\,)^2\cdot 10x,\)
\(\displaystyle 900z x^{\,2}=3\cdot 3z\cdot 100x^{\,2}=3\cdot 3z\cdot (10x\,)^2.\)
Поэтому
\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=(3z\,)^3+3\cdot (3z\,)^2\cdot 10x +3\cdot 3z\cdot (10x\,)^2+(10x\,)^3.\)
Сравнивая равенства
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{r}\color{blue}{a}^{\,3}\\(\color{blue}{3z}\,)^3\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\3\cdot (\color{blue}{3z}\,)^2\cdot \color{green}{10x}\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\3\cdot \color{blue}{3z}\cdot (\color{green}{10x}\,)^2\end{array}\begin{array}{l}+\color{green}{b}^{\,3}\\+(\color{green}{10x}\,)^3\end{array}\begin{array}{l}=(\color{blue}{a}+\color{green}{b}\,)^3\\=(\,\color{blue}{?\,}+\,\color{green}{?\,})^3,\end{array}\end{aligned}\)
видим, что они в точности совпадают, если \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=10x.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=({\bf 3z+10x}\,)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\bf 3z+10x}\,)^3.\)
Второй способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}\) является полным кубом суммы.
Значит,
\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=(a+b\,)^3\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Напомним формулу "куб суммы".
Куб суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Следовательно,
\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Заметим, что поскольку \(\displaystyle 27z^{\,3}=3^3z^{\,3}=(3z\,)^3\) и \(\displaystyle 1000x^{\,3}=10^3x^{\,3}=(10x\,)^3,\) то
\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=(3z\,)^3+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+(10x\,)^3\)
и
\(\displaystyle (3z\,)^3+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+(10x\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(3z\,)^3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+\color{green}{(10x\,)^3},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3z\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(10x\,)^3}.\)
Тогда можно предположить, что \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=10x.\)
1. Очевидно, что два равенства \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3z\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(10x\,)^3}\) выполняются.
2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений
\(\displaystyle 3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=270z^{\,2}x+900z x^{\,2}\)
при \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=10x.\)
Подставляем \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=10x\) и получаем
\(\displaystyle 3\cdot (3z\,)^2\cdot 10x+3\cdot 3z\cdot (10x\,)^2=270z^{\,2}x+900z x^{\,2},\)
верное равенство.
В итоге мы получили равенство
\(\displaystyle (3z\,)^3+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+(10x\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}\)
при \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=10x.\)
Следовательно,
\(\displaystyle (3z\,)^3+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+(10x\,)^3=(a+b\,)^3\)
при \(\displaystyle a=3z\) и \(\displaystyle b=10x,\) то есть
\(\displaystyle (3z\,)^3+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+(10x\,)^3=(3z+10x\,)^3.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=({\bf 3z+10x}\,)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\bf 3z+10x}\,)^3.\)