Дополните выражение числом так, чтобы после приведения подобных получился полный квадрат суммы, и запишите его:
\(\displaystyle 25s^{\,2}+10s\)\(\displaystyle +5=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Так как надо дополнить число, то рассмотрим неизвестное и число \(\displaystyle 5\) как единое целое:
\(\displaystyle 25s^{\,2}+10s+\,\color{red}{?}+5=25s^{\,2}+10s+\color{red}{(\,?+5)}.\)
Нам известно, что выражение
\(\displaystyle 25s^{\,2}+10s+\color{red}{(\,?+5)}\)
является полным квадратом суммы, и необходимо найти второй квадрат.
Следовательно,
\(\displaystyle 25s^{\,2}+10s+\color{red}{(\,?+5)}=(a+b\,)^2,\)
\(\displaystyle 25s^{\,2}+10s+\color{red}{(\,?+5)}=a^{\, 2}+2ab+\color{red}{b^{\, 2}}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)
Заметим, что \(\displaystyle 25s^{\,2}=5^2s^{\,2}=(5s\,)^2.\)
Нам известен один квадрат и удвоенное произведение:
\(\displaystyle 25s^{\,2}=a^{\, 2}\) или \(\displaystyle (5s\,)^{\,2}=a^{\, 2},\)
\(\displaystyle 10s=2ab,\)
но неизвестен второй квадрат:
\(\displaystyle \color{red}{(\,?+5)}=b^{\,2}.\)
Из того, что \(\displaystyle a^{\, 2}=(5s\,)^{\,2},\) следует, что \(\displaystyle a=5s\) или \(\displaystyle a=-5s.\)
Выберем вариант со знаком плюс "+", то есть \(\displaystyle a=5s.\)
Тогда, подставляя вместо \(\displaystyle a\) выражение \(\displaystyle 5s\) в равенство \(\displaystyle 10s=2ab,\) получаем:
\(\displaystyle 10s=2\cdot 5s \cdot b,\)
\(\displaystyle b=\frac{10s}{2\cdot 5s},\)
\(\displaystyle b=1.\)
Поэтому можно найти недостающее значение:
\(\displaystyle \color{red}{?+5}=1^2,\)
\(\displaystyle \color{red}{?+5}=1,\)
\(\displaystyle \color{red}{?}=1-5,\)
\(\displaystyle \color{red}{?}=-4.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 25s^{\,2}+10s+\,\color{red}{?}+5=25s^{\,2}+10s \color{red}{-4}+5\)
и
\(\displaystyle 25s^{\,2}+10s \,{\bf -\,4}+5=(5s+1\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle 25s^{\,2}+10s \,{\bf -\,4}+5=(5s+1\,)^2.\)