Решите неравенство:
\(\displaystyle \dfrac{1}{t-1} + \dfrac{3t^2-27t+3}{t-9} \geqslant 3t{\small .}\)
\(\displaystyle \dfrac{1}{t-1} + \dfrac{3t^2-27t+3}{t-9} \geqslant 3t{\small .}\)
1. Получим нуль в правой части неравенства.
\(\displaystyle \dfrac{1}{t-1} + \dfrac{3t^2-27t+3}{t-9} -3t\geqslant 0{\small .}\)
2. Представим левую часть неравенства в виде рациональной дроби.
\(\displaystyle \frac{t-3}{(t-1)(t-9)}\geqslant 0{\small .}\)
3. Найдем нули числителя \(\displaystyle t-3\) и знаменателя \(\displaystyle (t-1)(t-9){\small }\) и расставим точки на числовой оси.
Нули знаменателя: \(\displaystyle t=1\) и \(\displaystyle t=9{\small .}\)
Поскольку неравенство нестрогое, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными точками;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми точками.
Так как \(\displaystyle t=3 \) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то \(\displaystyle t=3\) обозначается закрашенной точкой.
Поскольку \(\displaystyle t=1\) и \(\displaystyle t=9\) обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются выколотыми точками:
Получили четыре интервала:
\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3){ \small ,} \ (3;9)\) и \(\displaystyle (9;+\infty){\small .}\)
4. Расставим знаки.
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)= \frac{t-3}{(t-1)(t-9)}\) на каждом из интервалов.\(\displaystyle \\\)
5. Запишем ответ.
Решения неравенства \(\displaystyle \frac{t-3}{(t-1)(t-9)}\geqslant 0{\small }\) соответствуют промежуткам, где функция принимает положительные значения и включают невыколотые граничные точки.
Тогда неравенство выполняется при
\(\displaystyle \color{Blue}{1<t\leqslant 3{\small ;}}\) \(\displaystyle \color{Blue}{t>9{\small.}}\)
Ответ: \(\displaystyle t \in (1;3]\cup(9;+\infty){\small .}\)