Решите неравенство:
\(\displaystyle 0{,}7^{x} \le 1-\sqrt{2}{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Определим, является ли число \(\displaystyle 1-\sqrt{2}\) положительным или отрицательным.
\(\displaystyle 1-\sqrt{2} \vee 0\)
Перенесем \(\displaystyle \sqrt{ 2} \) вправо:
\(\displaystyle 1\vee \sqrt{2}{ \small .}\)
Так как \(\displaystyle 1>0 \) и \(\displaystyle \sqrt{2}>0{ \small ,} \) то можно возвести обе части неравенства в квадрат. Получаем:
\(\displaystyle \color{red}{ (}1\color{red}{ )^2} \vee \color{red}{ (}\sqrt{2}\color{red}{ )^2}{ \small ,}\)
\(\displaystyle 1\vee 2{ \small ,}\)
\(\displaystyle 1< 2{\small .}\)
Следовательно, здесь \(\displaystyle \vee\) – это знак \(\displaystyle <{\small .}\)
Таким образом, \(\displaystyle 1-\sqrt{2} <0{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle 0{,}7^x \) всегда больше нуля и \(\displaystyle 1-\sqrt{2} <0{\small ,}\) то это означает, что в неравенстве
\(\displaystyle 0{,}7^x\le 1-\sqrt{2} \)
слева стоит положительное число, а справа – отрицательное.
Так как положительное число всегда больше отрицательного, то это означает,
что неравенство \(\displaystyle 0{,}7^x\le 1-\sqrt{2} \) не имеет решений.
Ответ: \(\displaystyle \varnothing{\small .} \)