Найдите корень уравнения
\(\displaystyle 0{,}5^{2x-5} \cdot 0{,}5^{2x-3} =16{\small .}\)
Представим обе части уравнения в виде степени одного и того же числа.
Для этого переведем десятичные дроби в обычные. Так как \(\displaystyle 0{,}5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}{\small ,}\) получаем
\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-5} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-3} =16{\small .}\)
По свойствам степеней
\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-5} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{(2x-5)+(2x-3)}=\left(\frac{1}{2}\right)^{4x-8}{\small .}\)
Значит, уравнение \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-5} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2x-3} =16\) можно переписать как
\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{4x-8} =16{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle 16=2^4=\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}{\small ,}\) то получаем:
\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{4x-8} =\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}{\small .}\)
Так как основание одинаковое, можно приравнять степени:
\(\displaystyle 4x-8=-4{\small .}\)
Решим полученное линейное уравнение:
\(\displaystyle 4x=-4+8{\small ,}\)
\(\displaystyle 4x=4{\small ,}\)
\(\displaystyle x=1{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle 1{\small .}\)